已知a^5=b^4，c^3=d^2，c-a=19，且a，b，c，d都为正整数，求d-b.

这是一道初中数学竞赛题，乍一看还是有难度的，很多数学不灵光的，或者平时训练少的，一看到全是字母和未知数的高次指数方程，脑袋就大了。这是第一个难度。

第二个难度是不知道数学条件和数学语言如何转换。

具体到这个题中，很多人被难住的关键所在，就是不知道怎么从已知条件中求出c-a的表达式。初看之下，根本找不到c和a的关系，更不知道c和a之间的数量关系。其实脑袋打开之后，这题并不难。

首先思考，a^5怎么变成a，显然要降次，a^5／a^4=a。同样的道理，可以搞定c^3／c^2=c。然后分别用b^4，d^2代替a^5，c^3代入方程c-a=19中。于是，这个方程变成：d^2／c^2-b^4／a^4=19.

这是解此题最关键的一步，就是在看似没有关系的三个方程之间，找到了a，b，c，d之间的联系和数量关系。如果这一步做不出，此题会全然无法下手。

再仔细观察d^2／c^2-b^4／a^4=19，会发现这个方程的左边是一个完全平方差，可以分解因式为（d／c+b^2／a^2）（d／c-b^2／a^2）=19.

到了这里，很多数学不好的同学又会懵圈了，一连串的字母相乘，怎么求出各自的值。其实，之所以有这样的疑问，还是没有充分阅读理解题意，充分利用已知和暗含的条件。

我们再回过头来看，题目告诉我们，a，b，c，d都为正整数，且a^5=b^4，c^3=d^2，说明d／c和b／a都是正整数，也就是说，d能被c整除，b能被a整除，要能从已知条件中，推理出这个结论。

有此结论，便知（d／c+b^2／a^2）和（d／c-b^2／a^2）都为正整数，且（d／c+b^2／a^2）>（d／c-b^2／a^2）。有了这两个结论，我们再观察方程右边发现，19是个质因数，只能分解为19*1.

走笔至此，此题豁然开朗。

于是有如下的方程组成立：（d／c+b^2／a^2）=19，（d／c-b^2／a^2）=1.联立这个方程组，可以求出d=10c，b=3a，至此，我们终于找出了d与c，b与a之间的数量关系，可以说长舒一口气了。

再将d=10c，b=3a代入已知条件，可得c=100，d=1000，b=243，a=81。故所求d-b=1000-243=757.此题此时可以说是大功告成。

经常做此类题型的同学，会得出几个有用的关于思路与方向上的经验。

第一，不要被眼花缭乱的数字或字母所迷惑所吓住，首先意志上要有攻坚克难的定力，不要畏难。

第二，但凡牵涉到关于整数或正整数的方程，基本最后的套路就是把因式之间的加减，通过运算和因式分解，把它们变成因式之间的乘积，然后结合已知或者暗含条件，讨论各个因式可能的值，直到找到符合要求的解。

也就是说，此类题万变不离其宗，一是要把因式之间的加减通过因式分解，变成不同因式的乘积，二是要分开讨论，此部分最后还是解方程，就如同本题中后部分的解法一样。

总之，学好数学的关键在于举一反三，融会贯通，触类旁通。