从太空中看，地球是一个美丽的、蓝白相间的球体。一提到“地球”这个词，我们就会联想到这个画面。然而，在二十世纪以前，人类只能仰望星空，太空旅行只不过是一个梦想。几乎没有人想过去地球以外的另一个世界旅行。

几位勇敢的拓荒者开始缓慢地向天空“攀登”。中国人首先做了这个尝试。公元前500年左右，鲁班发明了一种“木鸟”，这可能是最早的滑翔机。十七世纪氢的发现，激发了一些勇敢的人，他们乘氢气球飞向地球大气层的底层。但氢是可以爆炸的。1783年，法国的约瑟夫-米歇尔兄弟发明了热气球，这比氢气球更加安全。

人类所能达到的高度开始迅速增加。1903年，奥维尔·莱特和威尔伯·莱特夫妇进行了第一次动力飞机飞行。第一家航空公司DELAG（德国航空公司）于1910年开始运营。1914年，圣彼得堡-坦帕汽船航线开始商业飞行。商业航空旅行很快变得司空见惯。喷气式飞机也随之出现，波音707从1958年推出以来就成为了市场的领导者。

世界上第一家航空公司

1961年，苏联宇航员尤里·加加林乘坐东方一号（Vostok 1）首次进行了载人地球轨道飞行。1969年，美国宇航局的阿波罗11号将两名美国宇航员尼尔·阿姆斯特朗和巴兹·奥尔德林送上了月球。航天飞机于1982年开始运行飞行，由于预算限制，它无法实现最初的目标（可重复使用的快速周转的运载工具）。今天，马斯克已经雄心勃勃地想要征服火星，这将是人类的又一壮举。

地球是一个水的世界，有海洋、河流、湖泊。水最擅长的就是流动。水流可能是从屋顶上滴下来的雨水，也可能是瀑布一样的湍流。它可以是温和的、平滑的，也可以是汹涌的。

19世纪，数学家们推导出了流体方程。飞行所需的“液体”不像水那么明显，但却无处不在——空气。空气的流动在数学上更为复杂，因为空气是可以压缩的。数学家们通过修改不可压缩流体方程，使之适用于可压缩流体，从而开创了一门科学：空气动力学。早期的先驱者可能凭经验飞行，但商用飞机和航天飞机能飞行是因为工程师们已经进行了计算。飞机设计需要对流体流动的数学有深刻的理解。

阿基米德早在2200年前就研究了漂浮物体的稳定性。1738年，荷兰数学家丹尼尔·伯努利发表了《流体动力学》，其中包含了流体在压力较低的区域流动更快的原理。如今，伯努利原理经常被用来解释为什么飞机能飞：机翼的形状是为了让空气在顶部表面流动得更快，从而降低压力并产生升力。这个解释有点过于简单，而且飞行中还涉及许多其他因素，但它确实说明了基本数学原理和实际飞机设计之间的密切关系。伯努利把他的原理体现在一个关于不可压缩流体中速度和压力的代数方程中。

1757年，欧拉在《柏林学院回忆录》上发表了一篇文章，名为《流体运动的一般原理》。这是用偏微分方程模拟流体流动的第一次尝试。为了使方程不那么复杂，欧拉做了一些假设：特别是，他假设流体是不可压缩的，并且是没有粘度的。这些假设让他找到了一些解。欧拉方程今天仍然用于某些类型的问题，但总的来说，它太简单了，不具有太大的实用价值。

后来，有两位科学家提出了一个更现实的方程。克劳德-路易斯·纳维尔（法国工程师和物理学家）和乔治·加布里埃尔·斯托克斯（爱尔兰数学家和物理学家）。纳维尔在1822年推导出一套粘性流体流动的偏微分方程组。20年后，斯托克斯开始发表有关这一主题的文章。流体流动的最终模型现在被称为纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes方程）（通常使用复数，因为这个方程是用矢量表示的，所以它有几个分量）。

这个方程是如此精确，以至于现在工程师们经常使用计算机直接计算流体模型，而不是在风洞中进行物理测试。这项技术被称为计算流体力学（CFD），现在已成为任何涉及流体流动问题的标准技术：航天飞机的空气动力学、一级方程式赛车和家庭汽车的设计、人体血液循环等。

有两种方法可以观察流体的几何形状。一种是跟踪单个微小流体颗粒的运动，看看它们去了哪里。另一种方法是关注这些粒子的速度：它们在任何时刻移动的速度和方向。这两者是密切相关的，但这种关系很难理清，除非用数值近似。欧拉，纳维尔和斯托克斯的一个伟大的见解是：用速度来表示。流体的流动最好用速度场来理解。

速度场是一种数学描述，它描述的是速度在空间和时间中的变化。欧拉，纳维叶和斯托克斯写下了描述速度场的方程。然后就可以计算出流体的实际流动模式，至少可以得到一个很好的近似结果。

纳维尔-斯托克斯方程是这样的：

其中ρ是流体的密度，v是流体的速度场，p是压力，T是了应力，f是作用于整个区域的力（而不仅仅是作用于表面）。点是向量的运算，而∇是偏导数的表达式，即

这个方程是从基础物理学推导出来的。与波动方程一样，关键的第一步是应用牛顿第二运动定律，将流体粒子的运动与作用在其上的力联系起来。主要的力是弹性应力，它有两个主要的组成部分：由流体黏度引起的摩擦力，以及正（压缩）)或负（拉升）压力的影响。还有来自流体粒子自身加速的体积力。将所有这些信息结合起来，就得到了纳维尔-斯托克斯方程，它可以被看作是在这种特殊情况下动量守恒定律的陈述。基础物理是无可挑剔的，模型是足够现实的。像所有经典数学物理的传统方程一样，它是一个连续模型：它假设流体是无限可分的。

这（连续模型）也许是纳维尔-斯托克斯方程与现实脱节的主要地方，但只有当运动涉及到单个分子规模的快速变化时，才会出现问题。这种小尺度运动在一个至关重要的情况下非常重要：湍流。如果把水龙头开到最大，会看到一股冒着泡沫的水流。类似的泡沫流也发生在河流的急流中。这种效应被称为紊流。

求解纳维尔-斯托克斯方程很难。在（超级）计算机问世之前，数学家们只能简化和近似。流体流动的模式一直是数学研究的热门领域，但该领域中最大和最基本的问题之一仍然没有得到回答：纳维尔-斯托克斯方程的解确实存在，是否有数学上的保证？能解决这个问题的人将获得100万美元的奖金，这是克莱研究所七个千禧奖问题之一。在二维流中答案是肯定的，但没有人知道三维流的答案。

尽管如此，纳维尔-斯托克斯方程提供了一个有用的湍流模型。湍流的主要问题是实际的：几乎不可能数值求解纳维尔-斯托克斯方程，因为计算机无法处理无限复杂的计算。偏微分方程的数值求解是，将空间和时间划分为离散区域。为了捕捉湍流的运，我们需要一个非常精细的计算网格。因此，工程师们经常使用湍流的统计模型。

纳维尔-斯托克斯方程彻底改变了现代交通。最大的影响是在飞机的设计上，因为飞机不仅要高效飞行，而且还要稳定可靠地飞行。船的设计也受益于这个方程，因为水是流体。即使是普通的家用汽车也根据空气动力学原理进行设计，这不仅是因为它使汽车看起来美观，还因为它能有效地降低阻力，从而节省燃料。

在早期的飞机设计中，先驱们通过粗略的计算、物理直觉和反复试验将飞机组装在一起。很快，飞机的设计必须基于一种更合理、更可靠的方法。空气动力学诞生了，它的基本数学工具是流体流动方程。纳维尔-斯托克斯方程方程在空气动力学理论发展的过程中占据了中心位置。

然而，在没有现代计算机的情况下，解这些方程几乎是不可能的。因此，工程师们求助于物理模拟：将飞机模型放置在风洞中。如今，大多数F1车队都使用风洞来测试他们的赛车。现在计算机的能力已很强大，大多数车队都使用计算流体力学（CFD）。例如，下图显示了一辆汽车的空气流动的CFD计算。

也许最大的困难是在不影响空气流动的情况下精确测量空气的流动。如果在风洞里放一个仪器来测量气压，那么仪器本身就会干扰气流。CFD最大的优势是可以在不影响流体的情况下进行测量计算。现代制造工艺通常在设计阶段就使用计算机模型。

风洞模型在超音速飞机方面的研究尤其困难，因为需要非常大的风速。在这样的速度下，空气离开飞机的速度不能和飞机在空气中的速度一样快，这就导致了冲击波的产生，在地面上可以听到音爆。计算流体力学（CFD）被广泛应用于超音速飞机的气流预测。

CFD的方法被医学研究人员广泛用于了解人体的血液流动。数学分析人体血液流动非常困难，因为动脉壁是有弹性的。计算流体在刚性管中的运动已经很困难了，如果管子可以根据流体施加的压力改变它的形状，这就更难了。

CFD是解决这类问题的理想方法，因为计算机每秒可以进行数十亿次计算。

纳维尔-斯托克斯方程还有另一个应用：气候分析。气候和天气是相关的，但又是不同的。天气是指在给定的时间和地点发生的事情。众所周知，天气是不可预测的，不可预测的数学逻辑是混沌（这是另一个主题了）。

气候是天气的长期概念，降雨和温度在长期（也许是几十年）的平均情况下的表现。由于气候平均了这些差异，预测起来反而容易得多，但仍然很困难。气候对全球范围内的温度变化非常敏感。它们往往会使天气变得更加极端，干旱和洪水变得更加常见。气候的两个重要方面是大气和海洋。两者都是流体，都可以用纳维尔-斯托克斯方程来研究。