今天看到2024-2025学年天津市河西区高三上学期期末数学试卷(试卷见后)，其中第18题题目如下：
这道题目标准答案给出的是直线联立，这里给出向量加三角换元的解法：
昨天笔者文章《24-25学年天津市和平区高三上学期期末数学试卷第19题另解》中也用到了类似的三角换元(不过昨天那题没有太多三角恒等变换)，从这点上看这次河西区和和平区命题思路倒是有些“一致”了。
其实这种三角换元的方法属于解析几何中的参数方程方法，在现行教材中直线和圆这一部分的课后习题中出现过：
不过上一个版本教材选修4-4中则比较完整的介绍了这部分内容，这里对教材和部分目录内容截图如下：
当然有的题目使用三角换元方法可能在运算上会简便一些，有的则不一定，不过这个毕竟是教材上提供的一种方法，笔者觉得还是应该掌握的(还需要对三角恒等变换熟练)。很多同学在高三复习时都会看一看之前的高考真题和模拟题，那为什么不去看一看之前教材上的方法呢，而且这些教材就在人教版官网上和现行教材放在一起：
2024年天津高考圆锥曲线的题目用直线参数方程来解答就方便计算一些(这个内容在现行教材中作为阅读材料出现)，具体可以参见笔者之前文章《用教材上直线的参数方程解类似2006年天津高考椭圆题目的2024年天津高考椭圆题目》。
而在2025年天津高三的模拟试卷中，天津一中高三二月考数列题目就是出自上一个版本教材的选修4-5中的一个例题，具体可以参见《25届天津一中高三二月考数列题目的出处告诉我们要注意这类资料》。
最后附上开头题目的标准答案和整套试卷：
