在某种意义上，双曲几何对于物理宇宙的基本性超过了椭圆或欧几里得几何。

为什么呢？很简单：在小尺度上，物理宇宙既不是欧几里得的，也不是椭圆的，而是闵可夫斯基的。闵可夫斯基空间与双曲几何有着密切的关系。

闵可夫斯基空间被定义为实向量（t，x，y，z）的集合，以及一个二次型

其中c是光速。这个二次型背后的含义是，它衡量了给定点（t，x，y，z）和原点（0,0,0,0）之间的时空间隔（spacetime interval）。

时空间隔，有时也称为四维间隔，是狭义相对论和广义相对论中一个重要的概念。它在物理中扮演了一种类似于距离的角色，但与我们在日常生活中用来测量物理空间距离的概念有所不同。

在欧几里得几何中，空间距离由勾股定理给出，我们用来度量两点之间的直线距离。然而，当我们引入时间作为第四个维度，并考虑到光速是一个常数时，我们需要一个新的度量来测量"距离"，这就是时空间隔。

这种度量有一个重要的特性，就是在特殊相对论的洛伦兹变换下它是保持不变的。也就是说，无论观察者以何种速度移动，或处在何种参照系中，他们都会得出相同的时空间隔。因此，时空间隔在相对论中扮演了类似于不变量的角色。

为了简化，我将简单地取c=1，并且只考虑闵可夫斯基空间中z=0的切片，这只是因为绘制四维空间很困难，而三维空间则要容易得多。

上面是一个双曲面。两个锥体是点集(t，x，y)，使得：

它们也恰好是能够通过光线路径与原点连接的点，这是因为如果 −t^2+x^2+y^2=0，那么,

那个双曲面可以被很好地视为双曲空间，你可以根据时空间隔来定义两点之间的双曲距离，而测地线将简单地是这个双曲面与通过原点的闵可夫斯基空间平面的交线，就像这样：

如果没有将z设为0，我们将在完整的闵可夫斯基空间内得到一个三维双曲空间的双曲面模型，而不仅仅是上面的二维双曲空间。

闵可夫斯基空间和双曲空间之间的联系比这更深入，但为了完全理解这一点，我们需要讨论19世纪和20世纪几何学中发生的哲学变革。基本思想是：如果你想研究一个空间，那么研究保持它的重要方面的变换集合。

对于双曲空间，这是等距映射的集合，也就是说，所有不改变任何两点之间双曲距离的变换的集合。（对于欧几里得空间，这将是反射，平移，旋转等）。对于闵可夫斯基空间，这是固定原点（因为它是我们选择的参考点）、时空间隔和时间流向的变换集合。事实上，这两者都是完全相同的变换：它们都是由群

（被称为正时洛伦兹群）给出，该群包含所有4×4矩阵M，使得

如果

因此，尽管双曲面模型只给出闵可夫斯基空间的一个切片，但在某种意义上，它仍然“知道”关于它的一切，如果你有一个双曲面模型的等距映射，你可以从中重建出一个对应于闵可夫斯基空间的坐标变换。

或者，再强调一下：狭义相对性理论中的坐标变化不过是双曲等距映射。

我们通过明确选择一个特定的双曲面

来定义双曲空间。实际上并不需要这样做。首先，我们可以1替换成任何其他正实数 t ：

这同样有效。或者，我们可以选择在闵可夫斯基空间中划分空间，即我们可以确定闵可夫斯基空间中的任何两点 (t，x，y，z)，(t′，x′，y′，z′)，如果 (t，x，y，z)=λ(t′，x′，y′，z′)对于某个非零实数 λ。在这个观点中，闵可夫斯基空间中的线（经过原点）变成了双曲空间中的点，闵可夫斯基空间中的平面（经过原点）变成了双曲空间中的线。那么，闵可夫斯基空间中的线是什么呢？这些只是由匀速运动的物体在空间-时间中划出的路径！所以我们可能会猜测，点之间的双曲距离应该告诉我们一些关于相应路径的相对速度的信息。事实上，这是正确的。

让我们从考虑曲面（surface）开始。我说的曲面在这里指的是一个二维的拓扑流形（two-dimensional topological manifold）。

二维拓扑流形是一种数学对象，它在每一点都像二维欧几里得空间。这意味着，对于流形上的每一点，都存在一个周围的邻域（一个小区域），使得这个邻域可以与二维欧几里得空间中的一个开放集一一对应。

举一个常见的例子，我们可以将地球表面视为一个二维拓扑流形。尽管地球是一个三维物体，但地表上的任何一个点周围的小区域都可以看作是二维的。这就像地图将地球表面的一部分映射到二维纸面上一样。

我们假设曲面是封闭的（也就是紧凑的），直观地说，曲面上不能有任何洞，它应该被限制在某个有界区域内。两个曲面，如果它们是同胚的，那么它们就被视为“相同的”。直观地说，如果其中一个可以以连续的方式变形为另一个，如下图所示：

那么这两个空间就是同胚的。准确的描述是，同胚映射是一个连续的映射，并且有一个连续的逆映射。

现在，你可能会觉得在这种环境下不可能谈论几何——毕竟，我们允许曲面自由地以不保留角度或距离（甚至连续性）的方式变形。然而，有两个重要的奇迹发生。首先，对于曲面（以及三维流形），我们可以始终假设它们是平滑的（例如，它们在任何地方都没有角或尖点）——技术上的说法是，任何二维拓扑流形都与可微流形在恰好一种方式下同胚，至多相差一个微分同胚。这意味着我们可以在这样的曲面上谈论几何（本质上，是赋予点之间距离的方式），但问题仍然存在，那就是可以给任何特定曲面的可能几何有很多。

第二个奇迹解决了这个问题：高斯-波奈特定理（Gauss-Bonnet theorem）。曲面的几何形状由其在每一点的曲率决定——如果曲率为负，那么它看起来像是双曲几何空间的一小片；如果曲率为零，那么它看起来像是欧几里得平面的一小片；如果在一个区域内曲率为正，那么它看起来像是那个区域内球面的一小片。

高斯-波奈特定理告诉你，如果在整个曲面 S 上积分曲率，结果将精确为

其中 χ(S) 是 S 的欧拉示性数。欧拉示性数是一个简单的拓扑不变量：应用同胚映射不会改变它。这告诉你的是，即使在曲面上得到各种不同的曲率，平均曲率也只由曲面的拓扑（即那些不被同胚映射改变的属性）唯一确定。特别地，有一种唯一的方法可以给曲面分配一个几何结构，使得曲率在所有地方都是-1（因此它是双曲的），在所有地方都是0（因此它是欧几里得的），或者在所有地方都是1（因此它是球形的）。

这里有个有趣的部分：曲面有一个完整的分类，所以我们可以精确地说出每种类型有多少。具体来说，有两个曲率为1的表面：这些是球面和射影平面。

还有两个曲率为0的曲面，这些是环面和克莱因瓶。

(这张图取自 Hong-Hao Tu 的一篇论文：Universal Entropy of Conformal Critical Theories on a Klein Bottle）

所有其他表面——有无穷多个——的曲率都是 -1。所以，在某种意义上，你可能需要学习双曲几何，因为你能构造出的几乎所有曲面都是双曲的。

应该指出，这不仅仅适用于曲面。就像在二维情况下一样，目前还没有三维流形的完全分类，尽管这个问题自20世纪80年代Thurston展示了如何攻克这个问题以来，一直是一个非常活跃的研究领域。他的基本思想是，就像可以将唯一的几何结构关联到每个曲面一样，可以将任何三维流形切割成易于理解的部分，使得每个部分都获得唯一的几何结构。这产生了后来被称为 "八种 Thurston 几何"。八种中的七种很容易理解，并已经完全被分类。第八种是双曲几何，到今天，还没有一个完全的三维流形的双曲部分的分类。然而，它们占据了所有可能流形的绝大多数。

我们还可以超越这一点。例如，有一种适用于群的 "双曲性" 的概念，结果发现几乎每个群都是双曲的。人们可以通过诸如 Coxeter 群之类的东西来研究镶嵌；同样，几乎所有的例子都来自双曲几何。

如果几乎所有的东西都是双曲的，那么研究它可能很重要。