各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆的解答题，涉及圆的知识，切线的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识。
一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若点E恰好是AO的中点，求弧BF的长；
（3）若CF的长为1，求⊙O的半径长．
知识回顾
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
分析：（1）连接OD，由AC是⊙O的切线，可得OD⊥AC，结合条件证明OD∥BC，可得∠OBD=∠DBC，即可得出结论．
（2）连接DE，OF，证明△ODE，△OBF是等边三角形，再运用弧长公式即可解决问题．
（3）过O作OM⊥BC于M，则BM=FM，四边形CDOM是矩形.设圆的半径为r，则OA=6-r，BM=FM=r-1，先证明△ADO∽△OMB，再由比例线段可得出关于r的方程，解方程即可得出结果．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（以下过程可以部分调整）
（1）证明：如图1，连接OD．
∵AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=∠C，
∴OD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：如图1，连接DE，OF．
∵AE=OE=OB，AB=6，
∴AE=OE=OB=2，
∵∠ADO=90°，
∴DE=1/2OA=2，
∴DE=OE=OD=2，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠DOE=60°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠OBF=60°，
∵OF=OB，
∴△OFB是等边三角形，
∴∠FOB=60°，
∴弧BF的长=60π×2/180
=2π/3．
（3）如图2，连接OD，过O作OM⊥BC于M，
则BM=FM，四边形CDOM是矩形，
设圆的半径为r，
则OA=6-r．BM=FM=OD-CF=r-1，
∵DO∥BC，
∴∠AOD=∠OBM，
又∠ADO=90°=∠OMB，
∴△ADO∽△OMB，
∴OA/OB=OD/BM，
∴（6-r）/r=r/（r-1），
解得r=3/2或2，
∴⊙O的半径为3/2或2．
（完毕）
这道题属于综合题，考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，运用转化的思想思考问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。
长安面
最后一问的辅助线做的好