自然平衡理论认为，如果人类不干预自然，任其自由发展（演变）。最终，自然会达到一种完美的平衡状态。珊瑚礁里总是栖息着数量相近、颜色相同的鱼类；兔子和狐狸会共享土地和林地，狐狸能吃饱的同时，大多数兔子也都能生存下来，种群数量不会爆炸增长或直线下跌。自然将达到一个平衡的状态。直到下一个大陨石，或者超级火山打破平衡。

但事实并非如此。庞加莱指出，行星系统可能是混沌的。行星运动方程中没有明确的随机项，因此在原则上，现在的状态完全决定了未来的状态，但矛盾的是，实际的运动看起来是随机的。

“混沌”与“随机”的含义有很大的不同，混沌与“决定论”相对，混沌中有隐藏的模式（规律）。只有理解了混沌的原因，我们才能从不规则的数据中发现这些模式（规律）。

直到20世纪60年代，数学家、物理学家和工程师才开始意识到混沌在动力学中是多么的普遍。混沌动力学（混沌理论），已经遍布科学的大多数领域。它甚至能告诉我们一些关于经济学和社会科学的事情。混沌理论是微分方程所支配的所有运动的基础，而微分方程是物理定律的基本内容。

生物学中也存在混乱。最早意识到这一点的人之一是澳大利亚生态学家罗伯特·梅(Robert May)。他试图了解在珊瑚礁和林地等自然系统中，各种物种的数量是如何随时间变化的。1975年，梅在《自然》杂志上发表了一篇短文，指出通常用来模拟动、植物种群数量变化的方程可能是混沌的。

罗伯特·梅

从混乱理论中得出最重要的结论是，不规则的行为不一定有不规则的原因。以前，如果生态学家注意到一些动物的数量波动很大，他们会寻找一些外部原因。也许是天气的原因，或者是从其他地方突然涌入的捕食者。梅的研究表明，在没有外界干扰的情况下，动物种群的数量变换可能是不规律的，方程为：

k是一个常数，我们可以把k解释为种群数量的增长率

这被称为逻辑斯蒂方程（logistic equation），它是一个动物种群数量的简单模型，每一代的大小由前一代决定。这是一个离散方程，时间单位是“代”，因此是一个整数。该模型类似于微分方程（时间是一个连续变量），但在计算上更简单。种群数量可以用一个介于0（灭绝）和1（系统可以维持的理论最大值）之间的实数来表示。让时间t按整数步走，对应于“代”。

从0时刻开始，总体数量为x_0。然后我们用t = 0的方程来计算x_1；然后设t = 1，计算x_2，以此类推。显然，对于任何固定的增长率k，第0代的种群数量完全决定了后续代的规模。因此，这个模型是确定性的。

x_0=0.2，k=0.5时的迭代结果。

那么未来会怎样呢？平衡理论认为，种群数量应该平衡到一个稳定的状态。我们可以计算出这个稳定状态：只要设定t+1时刻的数量与t时刻相同。这样会得到两个稳定状态：0和1-1/k。大小为0的种群表示已经灭绝（所以应该舍弃）。然而，虽然这是一个稳定的状态，但它也可能不稳定。计算表明，当k大于3时，“稳态”是不稳定的。

x_0=0.2，k=4时的迭代结果。

下图显示了k = 4时种群数量的“时间序列”。它不是稳定的。然而，如果仔细观察，你就会发现这种动态变化并不是完全随机的。当种群数量变得非常大时，它会立即“跳跃”到一个非常低的值，然后在接下来的两到三代中以一种规则的方式（大致呈指数增长）增长。当种群数量接近0.75时，有趣的事情就会发生：它在该值上下交替振荡，振荡增长形成一个锯齿形，向右变宽（如图中较长的箭头所示）。

短箭头表示“跳跃”之后是短期的指数增长。较长的箭头表示不稳定的振荡。

尽管有这些“规律”，但在某种意义上，“种群数量变化行为”确实是随机的。假设当种群数量大于0.5时，分配符号H（正面）；小于0.5时分配符号T（反面）。这个特定的数据集从THTHTHHTHHTTHH序列开始，然后不可预测地继续下去，就像抛硬币的随机序列一样。在这种情况下，有可能证明，对于几乎所有的初始总体值x_0，正面和反面的序列在所有方面都像一枚均匀硬币的典型随机投掷序列。

这是一个了不起的发现。一个动态系统可以是完全确定的，在详细的数据中有可见的模式（规律），但同一数据的时间序列（上图）可以是随机的。决定论和随机性并不是对立的。在某些情况下，它们可以完全兼容。

这些发现从根本上改变了科学家对观测数据的思考方式。人类可能在解基于简单规则的方程时遇到了麻烦，但大自然并不需要像我们这样解方程。它只是遵守规则。

混沌源于动力学的拓扑方法。最先研究的是美国数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）和俄罗斯数学家弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）。他们都试图找出微分方程中典型的行为类型。斯梅尔研究的是“庞加莱关于三体问题的奇怪结果”；阿诺德的灵感来自于他的导师安德烈·科尔莫戈洛夫的相关发现。他们都很快意识到为什么混沌是常见的：这是微分方程几何的自然结果。

随着对混沌的深入研究，人们在早期的科学论文中发现了混沌的例子。20世纪40年代，英国数学家约翰·利特伍德和玛丽·卡特赖特在电子振荡器中发现了混沌的痕迹。1958年，东京地震预测发展协会在一个地球磁场发电机模型中发现了混沌行为。1963年，美国气象学家爱德华·洛伦兹在大气对流的简单模型中，相当详细地确定了混沌动力学的本质。混沌动力学对初始条件很敏感。典型的例子是一种被称为蝴蝶效应的现象。

尽管混沌动力学在理论上是确定性的，但在实践中它很快就会变得不可预测，因为在精确的初始状态中任何不确定性都会以指数速度增长。有一个预测范围，超过了这个范围，未来就无法预知。

混沌的短期可预测性可以用来区分它与纯粹的随机性。人们设计了许多不同的技术来区分这种差异，并在系统行为确定性但混乱的情况下计算出潜在的动力学。

从天文学到动物学，混沌学在科学的每一个分支都有应用。天文学家已经证明了太阳系的动力学是混沌的；他们还表明，月球的潮汐稳定了地球，避免了可能导致混沌运动的影响。所以混沌理论证明，如果没有月球，地球将是一个非常不适合居住的地方。

混乱也会影响日常生活，但它们大多发生在制造过程和公共服务中。蝴蝶效应的发现改变了天气的预测方式。工业应用包括更好地理解混合过程，这被广泛用于制造药物。混沌控制是一种利用蝴蝶效应来保持动态行为稳定的技术，在设计更高效、侵入性更小的心脏起搏器方面发挥重要作用。

总的来说，混乱的主要影响是对科学思维的影响。自从它被广泛认识以来，混沌已经从一种小小的数学好奇心变成了科学的基本特征。通过梳理出确定性混沌的隐藏模式，我们可以研究许多自然的不规则现象，而不需要借助统计学。它已经改变了科学家思考世界的方式。