各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关正方形的证明题，涉及圆的知识，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识。
一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB=AD，CB=CD，延长AB、DC交于E，∠AED的平分线交BC于P，交AD于K，延长AD、BC交于F，∠BFA的平分线交CD于H，交AB于G．求证：四边形GPHK是正方形．
正方形知识回顾
正方形的定义：正方形是特殊的平行四边形之一，即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形。
正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形. 有一个角为直角的菱形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 一组邻边相等的矩形是正方形.
分析：要证明四边形GPHK是正方形，可以先证明其是平行四边形，再想办法证明其是菱形，再证明对角线相等，按照这三步走.先根据条件证明∠AKP=∠BPK，由此推出∠FKP=∠FPK，得出FK=FP，推出FG⊥EK，PS=SK，同理可证SG=SH.由PK⊥GH可以证明四边形GPHK是菱形，再证明PK=GH即可解决问题．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（注意以下过程可以部分调整）
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBP=∠EDK，
∵KE平分∠AED，
∴∠KED=∠KEA，
∵∠AKE=∠DEK+∠EDK，∠BPK=∠AEK+∠EBP，
∴∠AKE=∠BPK，
∴∠FKP=∠FPK，（等角的补角相等）
∴FP=FK，
∵FG平分∠PFK，
∴FG⊥PK，PS=SK，
同理可证SG=SH，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴四边形GPHK是平行四边形，
∵PK⊥GH，
∴四边形GPHK是菱形，
∵AB=AD，CB=CD，
∴弧AB=弧AD，弧BC=弧CD，
∴弧ABC=弧ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A，AB=AD，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AE=AF，∠AED=∠AFB，
∵∠AEK=1/2∠AED，∠AFG=∠SFP=1/2∠AFB，
∴∠AEK=∠AFG=∠SFP，
∴△AEK≌△AFG（ASA），
∴EK=FG，AK=AG，
∴EG=FK=FP，
∵∠ESG=∠FSP=90°，∠SEG=∠SFP，
∴△ESG≌△FSP（AAS），
∴SG=SP，
∴PK=GH，
∴四边形GPHK是正方形．
（完毕）
这道题属于综合题，考查了圆的相关知识，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形证明线段相等。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。
月黑。。。
懵逼树上懵逼果。。。
星空漫歌
这个证法太繁琐了。可以利用四边形四点共圆的性质得出角CBA和CDA均为90度，再根据三角形外角关系直接就可以得出PK和HG垂直，然后就一目了然了。
laaiji 回复 01-31 16:54
呵呵呵[得瑟]！！！唉想这么简单！
比钻石还要珍贵 回复 12-12 12:45
等腰三角形角平分线就是垂线，还是要证明全等，对角线垂直且相等才是正方形
野草
圆的解证题一直不是压轴题！只是比较难！算不上难题！
知足者常乐 回复 12-17 09:01
有时候是的，二次函数压轴几率更高
木子 回复 01-29 15:16
二次函数结合数列，真香
UC网友10xxxx5283
没有什么问题不是连接AC解决不了的
风音
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阿文爱文
四点共圆且四弦俩俩想等-->四段弧俩俩相加（半圆）对应的圆周角为90度-->
逢西向北 回复 12-15 06:44
s不是圆心，你想的理所当然了？
UC网友12xxxx3635
这种题属于送分题
用户10xxx92 回复 01-08 22:47
怎么不是送钱题
UC网友10xxxx2244
对称的翻滚迫使角线满足正方形，剩下的仅是具体的寻找。战略上轻视敌人，战术上不马虎，积木的经验对培养创造思维没个屁用。
用户72xxx06
为什么我一个研究生会推送给我这个，我只是百度了一下拉普拉斯变换啊[得瑟]顺带一提，这种题目除了为难学生，实际意义为零
龙卷风8号
利用已知条件可证得fsk、fsp、esh、esg四个小三角形全等，即可知pk与hg相等且垂直平分，得到pgkh为正方形。
用户10xxx32
原来证明正方形只需从对角线入手
山河永寂
同理可得[得瑟][得瑟]
猪神
二次函数＋图形＋多个解。才是噩梦
会飞的鱼儿
我量一下，四个角是90°，所以它是正方形，可以吗？
锋城 回复 02-09 07:54
大哥，四个角都是90度也不一定是正方形的
用户10xxx92 回复 锋城 02-09 11:38
两条边也是一样长，可以吗？
UC网友33xxxx2516
逗比，多次证明三角形是全等三角形？组合起来怎么能成正方形？？？全等三角形内角是60度，你组合一个我看看？？？？
UC网友10xxxx9599
先证平行四边形，再证对角线相等，最后证对角线垂直
笑看红尘
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行之
根据题意，整个图形关于AC对称，然后后面的问题都不是问题啦
苹果
目测就是正方形[呲牙笑]
铁洛
角ebp=角edk是怎么证明的
我就是老板
这样的当年我都是满分
一个人的盛宴
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炎黄
很简单，尺子量一下即可
left
内接四边形对角互补，这个且相等所以有垂直，再根据这个90，通过对顶角及相等角证明需要证明的对角线相互垂直，再有角平分线及三线合一说明相互平分，最后再有全等证明对角线相等就可以了。
吃苦耐劳的农民
看着都不像