数学微积分之不定积分6道习题计算步骤系列（11）

微积分：六个数学不定积分计算步骤

解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(20x²-19x+3)'=40x-19，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式∫dx/x=lnx+c来变形计算。

∫(40x-19)dx/(20x²-19x+3)

=∫d(20x²-19x)/(20x²-19x+3),

=∫d(20x²-19x+3)/(20x²-19x+3),

=ln|20x²-19x+3|+C。

解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一：是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：

∫(10x²-33)²dx

=∫(10²x⁴-660x²+33²)dx,

=∫10²x⁴dx-∫660x²dx+∫33²dx,

=1/5*10²x⁵-1/3*660x³+33²x+C.

思路二：通过分部积分进行计算，有：

∫(10x²-33)²dx

=(10x²-33)²x-∫xd(10x²-33)²，

=(10x²-33)²x-4*10∫x²(10x²-33)dx，

=(10x²-33)²x-4*10∫(10x⁴-33x²)dx，

=(10x²-33)²x-4*10²∫x⁴dx+4*10*33∫x²dx,

=(10x²-33)²x-(4/5)*10²x⁵+2/3*660x³+C。

解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=34²-4*399<0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式∫dx/(1+x²)=arctanx+C变形计算即可，有：

∫dx/(x²-34x+399)

=∫dx/(x²-34x+289+110),

=∫dx/[(x-17)²+110],

=(1/110)∫dx/[1+(x-17)²/110],

=(1/√110)∫d(x/√110)/[1+(x-17)²/110],

=(1/√110)arctan[(x-17)/√110]+C。

解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：

∫(73/82x+32x/59)²dx

=∫[(73/82x)²+2*73/82*32/59+(32x/59)²]dx,

=(73/82)²∫dx/x²+2336/2419∫dx+(32/59)²∫x²dx,

=-(73/82)²/x+2336x/2419+1/3*(32/59)²x³+C。

解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(16x³-12x²+2)'=48x²-24x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：

∫(16x³-12x²+2)112(48x²-24x)dx

=∫(16x³-12x²+2)112d(16x³-12x²+2),

=(1/113)*(16x³-12x²+2)113+C.

解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：

∫xln(3x-28)dx

=(1/2)∫ln(3x-28)dx²，

=(1/2)x²ln(3x-28)-(1/2)∫x²dln(3x-28),

=(1/2)x²ln(3x-28)-(3/2)∫x²dx/(3x-28),

=(1/2)x²ln(3x-28)-∫(x+28/3)dx-

(28/3)²∫d(3x-28)/(3x-28)

=(1/2)x²ln(3x-28)-(1/2)x²-28x/3-

(28/3)²*ln(3x-28)+C。