魏尔斯特拉斯从1854年起，开始在《纯粹与应用数学杂志》上发表论文，从而引起世人对他的关注。他于1856年在柏林得到了教授职务。魏尔斯特拉斯教的是分析学，许多重要的数学家都听过。从而直接或间接地影响了许多人，包括施瓦兹、赫尔德、康托等。以下的叙述很大程度上是基于这些讲义的1878年的版本。

魏尔斯特拉斯的方法是建立在柯西的方法的基础上的。魏尔斯特拉斯的方法有两个非常重要的主题：一是在极限过程中、消除了运动的概念；二是函数特别是复变量函数的表示。这两个主题是密切相关的。在极限的非运动的定义中，对现在称为实直线和复平面的拓扑学的研究至关重要，在其中我们有了极限点的概念，有了局部和整体的明确的区别。魏尔斯特拉斯研究的中心对象是函数（一个或多个实或复变量的函数），但是应该注意，并没有涉及集合理论所以函数并没有被看成有序数对的集合。

这些讲义从现在已经很熟悉的主题开始：从整数到有理数、复数和实数的发展。例如负数是用运算来定义的，使得整数在减法运算下也是闭合的。他曾经企图用统一的方法来定义有理数和无理数，其中包括单位分数和十进小数，但现在看来有些模糊。魏尔斯特拉斯对于实数的定义用现代的眼光来看是不能满意的，但是分析的算术化的一般道路已经由这个方法确定了。他也发展了函数类，即利用幂级数表示，从有理函数开始来建立起函数类。这样，按照魏尔斯特拉斯的方法，多项式（称为整有理函数）被推广为"具有整数特性的函数"，就是其幂级数展开式处处收敛的函数。魏尔斯特拉斯的因子定理断言，任意这种函数都可以分解为某些"素"函数和具有某一类多项式指数的指数函数的乘积（可能是无穷乘积）。

魏尔斯特拉斯给出的极限定义具有彻底的现代特性（Weierstrss，1988：57）：

说变量y随另一个变量x同时变为无穷小，就是说，“在假设了一个任意小的量ε后，可以对x找到一个界限 δ，使得对于每一个适合|x|<δ的 x，|y|的相应值必小于ε”。

魏尔斯特拉斯立即用这个定义来证明多变量的有理函数的连续性、其论据可以在今天的教科书上找到。变量趋于一确定值的以往的概念，被关于互相联系的不等式的量化的命题所取代。把各种假设放进使用不等式的框架里来陈述，成了魏尔斯特拉斯学派的著作的指导主题。这种语言给予例如涉及到极限的交换这类问题的清晰性，意味着以前无法处理的问题现在可以用一种魏尔斯特拉斯学派的常规方式来处理了。

一般函数都可以从有理函数用级数展开式来构造，这个事实使得有理函数在魏尔斯特拉斯的方法里起了关键作用，早在1841年魏尔斯特拉斯就确认了一致收敛性的重要。一致收敛和逐点收敛的区别，在魏尔斯特拉斯的讲义里面十分清楚。关于级数的收敛性，他和柯西一样，是指部分和序列的收敛，但是收敛性现在要这样来陈述：

在变量的一个区域里的一致收敛性，则是说，对于这个ε，同样的N对于区域中的所有x都管用。一致收敛性能保证和的连续性，因为这些级数都是有理的从而是连续的函数的级数。从这个观点看来，一致收敛性的重要性远超出三角级数的范围（虽然三角级数也很重要）。事实上，它是整个函数理论的中心工具。

魏尔斯特拉斯成了其他人（特别著名的有黎曼）的工作是否严格的评判者。他所给出的反例，用来说明已经被接受的概念的困难和区别不同的解析性态，其数量比任何领袖人物都多。他的最有名的例子之一就是造出了一个处处连续而又无处可微的函数，就是级数：

魏尔斯特拉斯函数

它当|b|<1时一致收敛，但当 ab>1＋3π/2时，在任一点x都不可微。

魏尔斯特拉斯函数图，b值从0.1到5变化。

类似地，他还造出了使狄利克雷原理失败的函数的例子，还有"自然边界"，即继续拓展级数到更大的区域去的障碍、等等。他鼓励做细心的区分，以及他寻求病态而非常态的例子的过程本身，聚焦到使得分析中的假设的精确性到了前所未有的程度。从1880 年代以后，随着这个方法的成熟，分析不再处理只是大体上能行的情况，相反，寻求命题的绝对的精确性，使得这些命题的绝大多数一直到现在还能用。它也成了数学的其他领域的典范和必定的要求，虽然有时从一般能行的例子到表述完全的假设和定义，有时要花上几十年（代数几何学就是一个著名的例子，在这个领域里，直到1920年代还是在处理一般能行的例子）。在这个意义下，魏尔斯特拉斯和他的学派所支持的严格论证和解说成了数学的一般的模式。

魏尔斯特拉斯和影响

分析以其严格性成了各个子学科的典范，有好几个理由。分析仅以其结果的应用的数量之多与范围之广而言，就已经是重要的。并不是每一个人都赞同魏尔斯特拉斯对待基础问题的精确方法（即通过级数、有理函数等）。说真的，黎曼的更加几何化的方法，不说是成了一个学派，也吸引了许多追随者。他的方法所提供的洞察力，被人们热情地赞颂。然而，后世的讨论必须在这样一个水平上进行，其严格性要能与魏尔斯特拉斯所达到的相媲美，如果说对待分析基础的方法还会改变，需要正是按照魏尔斯特拉斯那样来严格掌握极限的概念，这一点是不会变的。余下的还需要严格化的分析的主题，就是数系的定义。

对于实数，最成功的定义可能要算是戴德金所提出的定义了。戴德金和魏尔斯特拉斯一样，以整数为基本，然后把它们推广为有理数，并且注意到它们所满足的代数性质正是现在所说的域的性质（域这个概念也应归功于戴德金）。然后他就来证明有理数满足一个所谓三分律。就是说，每一个有理数x把有理数集合分成三部分：其一是x自身；其二是大于x的一切有理数；其三是小于x的有理数。他也证明了大于或小于一个给定有理数的所有有理数都可以延伸到（正或负）无穷，以及每一个有理数都对应于数直线上的不同点。

然而他还注意到，在数直线上有无穷多个点并不相应于任意有理数。利用数直线上每一点都应该对应于一个数这一思想，他就利用切割来构造出连续统（即实直线）的其余部分。所谓切割，就是有理数的非空集合的有序对（A_1、A_2），其中第一个集合的每一个元都比第二个集合的每一个元小，而合并起来又包含了所有有理数。这种切割显然可以由一个有理数x来生成，这时，x本身或者是第一个集合的最大元，或者是第二个集合的最小元。但有时A_1既没有最大元，A_2也没有最小元。这时，就用这个切割来定义一个新数，它必然是无理数。至此，可以证明所有的切割都相应于实直线上的点，所以再也没有被遗漏的了。

戴德金切割

戴德金的构造对于什么是为实数找到基础的最好方法引起了大量的讨论，特别是在德国。参加讨论的人中有康托、海涅（德国数学家，不是诗人海涅），还有逻辑学家弗雷格。例如海涅和康托都把实数看成有理数序列的等价类，并给出一种程序使得可以定义基本的算术运算，法国数学家梅雷也提出一种非常类似的方法与此相对照的则有弗雷格，他在《算术基础》一书中试图在逻辑的基础上建立整数。虽然这种构造实数的方法并未结果，但是他一直坚持、各种构造都不应禁止考虑数学上的功能，还应能够证明其中没有内在的矛盾，他在这方面起了作用。

尽管在实数、无穷集合和分析的其他基本概念上已经有了大量的研究，共识仍然是不可捉摸的。例如有影响的柏林数学家克罗内克就否认实数的存在，而坚持认为所有真正的数学都必须放在有限集合的基础上。他如魏尔斯特拉斯一样，强调整数和多项式之间有很强的类比，并且企图用这个代数的基础来建立起整个数学。所以，对于克罗内克，分析中的整个主要的研究道路都是一种诅咒，他对此表示激烈的反对。这些观点对于一些后来的作者，直接或者间接地是有影响的，其中就包括布劳威尔和围绕着他的直觉主义学派，还有代数学家和数论家亨泽尔。

所有为分析建立基础的工作都以这样或那样的方式，基于深层的量的概念之上。然而。从1880年代到1910年代这个时期，分析的基础的框架移到集合理论上去了。它起源于魏尔斯特拉斯的学生康托的工作，康托在1870年代早期就开始研究傅里叶级数的不连续性。于是康托就关心怎样区别不同类型的无穷集合。他对于有理数和代数数都构成可数集合，而实数集合则不可数的证明，引导他到达不同基数的无穷集合的分层这个概念。他的发现对于分析的重要性一开始并未得到广泛认可，虽然早在1880年代，米塔格-莱夫勒和赫尔维茨对于导集合（即一个集合的极限点的集合）以及稠密集或无处稠密集的概念，都得到了值得注意的应用。

康托逐步达到了一个观点，即集合可以起整个数学的基础的作用。早在1882 年，他就写道，集合的科学包含了算术、函数论和几何学，而且以基数概念为基础，给出一个"更高级的统一"。然而这个提议表述得很含混。因而开始时没有吸引到追随者。然而，集合还是设法进入了分析的语言，最值得注意的是通过测度和集合的可测性的概念这条路。事实上，分析被集合理论吸收，一条重要途径就是通过寻求哪些函数可以用来在抽象的意义下“测度”一个集合这条路走来的。勒贝格和波莱尔在1900年左右关于积分和可测性的工作把集合理论以非常具体而亲密的方式捆绑到微积分上了。

建立分析的基础的下一个关键的一步是在20世纪初，重新强调了对于数学理论的公理结构。这件事从希尔伯特得到了强有力的推动。他从1890年代起就力求对几何学给出新的公理化。佩亚诺在意大利领导了一个学派，具有类似的目标。希尔伯特在这些公理的基础上重新定义了实数，他的许多学生和同事，由于这条道路所能提供的清晰性，也热情地转向公理学。数学家不再去证明某些实体如实数的存在，而是去安置一个系统使之满足实数所具有的基本性质。实数（或者什么别的对象）就用所提供的公理来定义。

正如 Epple 所指出的那样，这些实体被认为在本体论上是中立的，就是说他们并未提出一种把实数区别于其他对象的方法、甚至根本不提它们是否存在的问题，集合论的问题以悖论的形式出现，其中最著名的是罗素的悖论：设S是所有不包含自身的集合的集合，则S不可能在S中，也不可能不在S中。策墨罗的公理学就力求避免这些困难，部分地就是避免对集合下定义。到了1910年，威尔就说数学是关于“∈”（元素关系）的科学，而不是关于量的科学。尽管如此，策墨罗的公理学作为一种基本的战略，仍然是有争议的。至少有一点，就是这个公理系统的相容性并未得到证明。这样一种“无含义”的公理化，就其把直觉完全排除在外，也是有争议的。

在数学在20世纪初的复杂而迅速的发展背景下，这些辩论在许多方面的意义已经远远超出了什么是分析中的严格性这一问题。对于从事实实在在的工作的分析学家，以及对于教授基本的微积分课程的教师，这些问题对于日常的数学生活和教育，至少是边缘的问题，而我们正是这样对待它们的。集合理论的语言已经渗透到用以描述基本对象的语言中了。例如，单变量的函数定义为有序的实数对的集合，而有序对的集合论定义则是维纳在1914年给出的，函数的集合论定义也就是这个时候提出来的。

然而分析的研究与基础问题大不相同，所以总想避免基础问题，而且只要一个问题使用了基础方面的词汇，一般人都会回避。这绝不是说，现代的数学家以完全形式的途径来对待分析。与数和函数相关的直觉内容仍然是绝大多数数学家的思考的很大一部分。关于实数和集合的公理只是构成一个框架，以便在有需要时去引用，但是基本的分析的本质的对象、即导数、积分、级数及其存在和收敛的性态，仍然是按照 20世纪初期的办法来处理的，所以关于无穷小和无穷的本体论的辩论就不那么活跃了。

鲁宾逊（美国数学家）对非标准分析的研究发表于1961年，是这个故事的终曲。鲁宾逊是模型论专家，模型论研究的是逻辑的公理系统与可能满足它们的结构之间的关系。他的微分是对正规的实数再加上“微分”的集合而得到的，所得到的集合满足有序域的公理（其中有实数所满足的算术），但是此外还有小于一切1/n（n为任意正整数）的元素。在有些人看来，这个创造消除了通常处理实数的许多不愉快的地方，实现了莱布尼兹建立一个无穷小的理论的希望，这个理论应该成为实数的同样结构的一部分。