数学家和计算机科学家们度过了激动人心的一年，在集合理论、拓扑学和人工智能方面取得了突破性进展，同时还重新探讨了一些老问题，并见证了数学与其他学科之间的联系不断增长。但许多结果只是部分的答案，一些有希望的探索途径被证明是死胡同，留给未来几代人的工作。

拓扑学家们已经度过了忙碌的一年，今年秋天，他们看到了一本书的出版，这本书最终全面地介绍了一项有40年历史的有可能丢失的重要工作。11年前发明的一种几何工具在不同的数学背景下获得了新的生命，连接了不同的研究领域。集合理论的新工作使数学家们更接近于理解无限的本质以及有多少实数。

对量子场理论的数学理解的需求日益增长，量子场理论是物理学中最成功的概念之一。同样，计算机正成为数学家们日益不可或缺的工具，他们不仅使用计算机进行计算，而且还可以解决其他不可能的问题，甚至验证复杂的证明。随着机器解决问题的能力越来越强，今年在理解它们为何如此擅长解决问题方面也取得了新的进展。

拓扑结构

人们很容易认为，数学证明一旦被发现，就会永远存在。但是，1981年的一个开创性的拓扑学结果有被历史遗忘的危险，因为仅有的几个了解它的数学家年纪越来越大，离开了这个领域。迈克尔·弗里德曼对四维庞加莱猜想的证明表明，在某些方面与四维球体相似的某些形状在其他方面也必须与四维球体相似，使它们“同胚”。拓扑学家有自己的方法来确定两种形状何时相同或相似。幸运的是，一本名为《圆盘嵌入定理》的新书用近500页的时间确立了弗里德曼方法的逻辑，并将这一发现牢固地确立在数学经典中。

另一个最近在拓扑学上的重要成果涉及到斯梅尔猜想，该猜想问的是四维球体的基本对称性。渡边忠之证明了答案是不存在的。此外，两位数学家开发了“弗洛尔·莫拉瓦K理论”，这是一个结合辛几何和拓扑学的框架；这项工作为解决这些领域的问题建立了一套新的工具，而且几乎顺便证明了一个已有几十年历史的问题——阿诺德猜想。

打开AI的黑匣子

深度神经网络是一种建立在人工神经元层上的人工智能，无论它们是帮助数学家做数学还是帮助分析科学数据，都已经变得越来越复杂和强大。它们也依然神秘：传统的机器学习理论认为，它们大量的参数应该会导致过拟合和无法泛化。事实证明，更老、更容易理解的机器学习模型，即所谓的内核机器，在数学上等同于这些神经网络的理想化版本，提出了理解并利用数字黑匣子的新方法。

但也有一些挫折。被称为卷积神经网络的相关人工智能很难区分相似和不同的物体，而且很有可能永远都是如此。同样，最近的研究表明梯度下降，从根本上来说是一个困难的问题，这意味着一些任务可能永远超出了它的能力范围。尽管量子计算前景光明，但在3月份，一篇描述如何创造抗错拓扑量子位的重要论文被撤回，迫使曾经充满希望的科学家们意识到，这样的机器可能是不可能的。

无限的本质

有多少实数存在？一个多世纪以来，这一直是一个具有挑战性的问题，也是一个尚未解决的问题，但今年，我们看到了一个重大的进展。两位数学家在5月发表了一个证明，结合了之前两个对立的公理，其中一个的变化，被称为马丁极大值，暗示了另一个，命名为(*)。结果意味着这两个公理更有可能是正确的，这反过来表明实数的数量比最初想象的要多，对应的基数是ℵ2，而不是较小的（但仍然是无限的）ℵ1。这违反了连续统假设，ℵ0对应于所有自然数的集合。但并不是所有人都同意这个观点，包括(*)的最初创立者休·伍丁，他发表的新研究表明连续统假说终究是正确的。

1900年，大卫·希尔伯特提出了23个未解的重要问题，今年数学家们对第12个问题给出了不完整的答案，第13个问题是关于某些数字系统的组成部分，第13个问题是关于七次多项式的解。2月还宣布，单位猜想是错误的，这意味着乘法逆实际上存在于比数学家们想象的更复杂的结构中。今年1月，亚历克斯·康托罗维奇在一篇文章和一段视频中探索了或许是数学中最大的未解决问题——黎曼假设。

扩大数学桥梁

通常，一个伟大的数学进步不仅能回答一个重大问题，而且还提供了探索其他问题的新途径。Laurent Fargues和Jean-Marc Fontaine在2010年左右创造了一个新的几何物体，这对他们自己的研究有帮助。但是，当与彼得·舒尔茨（Peter Scholze）围绕完美空间的思想相结合时，法格斯-方丹曲线（ the Fargues-Fontaine curve）的意义得到了扩展，进一步将数论和几何联系起来。这是一种介于两个不同世界之间的虫洞。

关于朗兰兹项目的其他思考包括对安娜·卡莱亚尼的采访，她的工作帮助加强和改善了不同数学领域之间的类似联系，以及对朗兰兹原始猜想核心的伽罗瓦对称群的研究。

数学和计算机联合起来

现实世界的系统是出了名的复杂，偏微分方程帮助研究人员描述和理解它们。但是偏微分方程也是出了名的难解。两种新的神经网络——DeepONet和傅里叶神经算子——已经出现，使这项工作更容易。两者都具有近似算子的能力，可以将函数转换为其他函数，有效地允许网络将一个无限维空间映射到另一个无限维空间。新系统比传统方法求解现有方程的速度更快，而且它们还可能有助于为以前过于复杂而无法建模的系统提供偏微分方程。

事实上，今年计算机已经在很多方面证明了对数学家的帮助。今年1月，量子计算机公司报告了量子计算机的新算法，通过首先将它们近似为更简单的线性系统，量子计算机可以处理非线性系统，其中的相互作用可以影响它们自己。计算机也继续推动着数学研究的发展，一组数学家使用现代硬件和算法证明，与26年前发现的四面体相比，现在已经没有更多类型的特殊四面体了。

数学再一次遇上了物理

物理学和数学总是重叠的，相互启发和推动。量子场论的概念，物理学家用来描述包含量子场的框架的一个包罗一切的概念，已经取得了巨大的成功，但它建立在不稳定的数学基础上。将数学的严谨性引入量子场理论将有助于物理学家研究和扩展这个框架，但它也将给数学家们提供一套新的工具和结构来发挥作用。