各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆的证明题和解答题，涉及圆的知识，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识。
一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，延长AC到点D，使得CD=CB，连接BD交⊙O于点E，过点E作BC的平行线交CD于点F．
（1）求证：AE=DE．
（2）求证：EF为⊙O的切线；
（3）若AB=5，BE=3，求弦AC的长．
知识回顾
垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
分析：（1）由图可知，要证明AE=DE，只要证明∠EAD=∠D即可．根据“同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DBC=∠CAE，即可得出∠EAD=∠D.
（2）欲证明EF是⊙O的切线，只要证明OE⊥EF即可．由圆周角相等得出弧相等，再根据垂径定理得出垂直，即可解决问题.
（3）证明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性质求出AE，再进一步求出AD，即可解决问题．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（以下过程可以部分调整）
（1）证明：∵CD=CB，
∴∠DBC=∠D，
又∵∠DBC=∠CAE，（同弧所对的圆周角相等）
∴∠D=∠CAE，
∴AE=DE．
（2）证明：连接OE，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠DBC+∠D=2∠DBC=2∠CAE，
∴∠BAC=2∠CAE，
∴∠CAE=∠BAE，
∴点E为弧BEC的中点，
∴OE⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OE⊥EF，
∴EF为圆O的切线．
（3）解：在△ABE和△DBA中，
∵∠BAE=∠D，∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴AB/EB＝DB/AB＝DA/AE，
∴AB^2=BE×DB，
∵AB=5，BE=3，
∴BD＝25/3，
DE＝BD-BE
＝25/3-3
＝16/3，
∴AE＝DE＝16/3，
∵AB/EB＝DA/AE，
∴DA＝80/9，
∵CD=CB=AB=5，
∴AC＝DA×CD＝35/9．
（完毕）
这道题属于综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确找出相似三角形，运用线段比例解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。
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DA=80/9 CD=5。5×80/9=35/9.?
冷夜雨 回复 01-27 07:48
作者搞错了，最后一步是减法，被ta弄成了乘法
隔壁老王
△ABC不是正△？ 由⑵知直径AE垂直平分弦BC ∴∠ABC=∠ACB（等弧所对圆周角相等） ∴AC=AB 是我想多了？求高人指点！
迷失小母鸡 回复 02-13 01:13
我也跟你想的一样，但是看他又算的有理有据的，不知道我的想法错在哪[笑着哭]
用户13xxx52
真心不错
UC网友20xxxx3339
AB/EB＝DA/AE是什么定理？
迷失小母鸡 回复 02-13 01:06
他还省了一步:因为△BCD~△AED，所以BD/BC＝AD/AE，AB=BC，要证明两次相似，还有一边相等才能转化过来[笑着哭]
有个朋友 回复 01-09 08:19
△abe和△dba，答案写着呢啊。。。
冷夜雨
题图不应该有辅助线，本题画辅助线的图应该放在解答的第二问里。最后一步是减法而不是乘法。
隔壁老王
AE是角平分线，是高线也是中线所在直线。 三线合一则AB=AC
策划师七悟
子母型相似