引力，那只塑造宇宙并将我们牢牢固定在地面的无形之手，几个世纪以来一直是科学界深入研究的主题。虽然牛顿的万有引力定律在两百多年的时间里对引力的作用提供了非常精确的描述，但 20 世纪的曙光带来了一种革命性的新理解，那就是阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论。这个理论以其优雅的数学框架和对空间、时间和引力本质的深刻影响，取代了牛顿定律，成为对引力现象最精确的描述。然而，问题依然存在：我们能否从爱因斯坦方程复杂的织锦中，解开牛顿定律那些熟悉的线索？
爱因斯坦的广义相对论于1915 年发表，从根本上改变了我们对引力的看法。爱因斯坦没有将引力视为质量之间相互作用的力，而是提出引力是由质量和能量的存在引起的时空弯曲造成的。这种弯曲决定了物体（包括光）将遵循的路径。这个理论的数学核心在于爱因斯坦场方程，这是一组十个耦合的非线性偏微分方程，它将时空的曲率（由爱因斯坦张量表示）与质量和能量的分布（由应力-能量张量表示）联系起来。这些方程在其完整的形式中非常复杂，通常需要先进的数学技巧才能求解。
相比之下，牛顿的万有引力定律是 17 世纪提出的，其形式非常简单。它指出，宇宙中的每一个粒子都以与它们质量的乘积成正比、与它们中心之间距离的平方成反比的力吸引着每一个其他粒子。用数学表示，两个质量分别为 m1 和 m2 的物体之间相距 r 时的力 (F) 由 F = G * (m1 * m2) / r² 给出，其中 G 是引力常数。这条定律为理解行星的运动、潮汐以及地球上抛射物的轨迹等现象提供了一个非常成功的框架。
爱因斯坦方程和牛顿定律在复杂性上的明显差异可能会让人认为它们是完全独立的实体。然而，科学的对应原理指出，一个更新、更全面的理论应该在旧理论已知准确的范围内简化为旧理论。就广义相对论和牛顿引力而言，这个范围对应于弱引力场和低相对速度——这些条件在我们日常经验和太阳系中普遍存在（除了一些明显的例外）。
从爱因斯坦方程推导牛顿定律的过程涉及做出反映这些条件的特定近似。我们首先考虑引力场较弱的情况。这意味着时空的曲率很小，时空的几何形状仅从狭义相对论的平坦闵可夫斯基时空略有扰动。在数学上，这表示为度规张量（描述时空几何形状）可以写成闵可夫斯基度规加上一个小扰动项h_μν，其中 h_μν 的分量远小于 1。
此外，我们假设引力场是静态的或至少随时间变化缓慢，并且所涉及物体的速度远小于光速。在这些近似条件下，复杂的爱因斯坦场方程大大简化。方程中的非线性项变得可以忽略不计，我们可以专注于扰动 h_μν 中的线性项。
广义相对论中测试粒子的运动由测地线方程描述，该方程指出粒子遵循弯曲时空中“尽可能直”的路径。在弱场和低速极限下，这个测地线方程简化为牛顿第二定律，F = ma。在这种情况下，引力来自于粒子质量与略微弯曲的时空之间的相互作用。
至关重要的是，我们可以将扰动 h_μν 的分量与牛顿引力势 Φ 联系起来。具体来说，在弱场极限下，度规张量的时间-时间分量 (g₀₀) 可以近似为 -(1 + 2Φ/c²)，其中 c 是光速。这种联系是将爱因斯坦理论中时空的几何形状与牛顿引力中引力势的概念联系起来的桥梁。
将这个弱场度规代入简化的爱因斯坦场方程，并考虑以非相对论性物质（其中压力和动量与质量密度 ρ 相比可以忽略不计）形式的引力源，我们得到了引力势的泊松方程：∇²Φ = 4πGρ，其中 ∇² 是拉普拉斯算子。
泊松方程是牛顿引力中的一个基本方程。它将引力势与源的质量密度联系起来。从泊松方程，我们可以很容易地推导出牛顿的万有引力定律。对于位于原点的点质量 m，泊松方程的解给出了熟悉的引力势 Φ = -Gm/r。然后，可以从势的梯度获得距离点质量 r 处的测试质量 m' 所受的引力：F = -m'∇Φ = -Gmm'/r² * r̂，其中 r̂ 是从原点指向测试质量的单位向量。这正是牛顿的万有引力定律。
因此，通过一系列在弱引力场和低速范围内有效的明确定义的近似，我们确实可以从爱因斯坦场方程推导出牛顿引力定律。这种推导不仅仅是一个数学练习，它突出了这两个理论之间深刻的联系。牛顿引力可以被看作是更基本的广义相对论在低能量、弱场条件下的一个极限。
然而必须记住，牛顿定律是一种近似。广义相对论提供了更准确和完整的引力描述，尤其是在强引力场、高速度和宇宙距离上。水星近日点的进动、光线在巨大物体周围的弯曲以及引力波的存在等现象无法用牛顿引力解释，但广义相对论自然地预测了这些现象。
