代数是什么？对于第一次接触代数的中学生来说，代数是x，y，a，b之类字母构成的抽象的语言，并有对这些符号进行操作的一些规则。这些字母，有的代表变量，有的代表常量，可以有多种用途，例如可以利用它们来把直线写成y= ax+b 这样的形式、可以在笛卡尔平面画出它们的图像。进一步、还可以对这些等式进行运算和解释，例如一条直线的根就是直线与x轴相交的地方，还可以决定它的斜率是多少。有一些技术可以用来解联立方程式，也就是决定两条直线何时相交，又在哪里相交（或者证明它们平行）。

当有了很多技巧和抽象的操作来处理直线时，更复杂的曲线，例如二次曲线y=ax^2＋bx＋c、三次曲线y=ax^3＋bx+cx＋d、四次曲线y=ax^4+bx+cx+dx+e都进入了视野，但是同样的记号、同样的规则都还适用，问的也是同样的问题：一条曲线的根在哪里？给出两条曲线、它们在哪里相交？如此等等。

现在还是假设中学生已经掌握了这一类代数，进了大学，在大学里听一门代数课，那些他已经熟悉的 x，y，a，b现在都不见了；那些美丽的图像基本上也不见了。大学的课程反映的是另外一番天地，代数不知怎么变成“现代”的了。这个现代代数学讲的是抽象的结构——群、域，还有别的各有自己的称谓的对象——每一个都是用少数几个公理来定义的，还建立了一些子结构，如子群、理想和子域。

在这些对象中可以通过以下映射“四处游走”，如群的同态、环的自同构等等。这种新的代数学的目的之一是理解这些对象下面的结构而建立起群、域的完整理论。然后这些抽象的理论就会被应用到不同的领域里去，在那里基本的公理是满足的，但是事先完全看不出会有一个群或者环或者域躲在那里。这事实上正是现代代数学的伟大力量所在：只要证明了一个关于某个代数结构的一般的事实，就再也没有必要在每一次与这个结构的特例相遇时候，再去分别指明一次这个事实。这个抽象的途径使得我们能在看来完全不相同的背景下，看出很重要的相似之处。

这两种事业——中学里对于多项式方程的分析和大学的现代代数学——看起来目的如此不同、工具和原理的展望也大异其趣，居然都叫做"代数学"，这是怎么回事呢？它们确实互有关联吗？事实上是有的，但是怎么会有，这可是一篇又长又复杂的文章。

求解今天所谓的一次和二次多项式方程在古代巴比伦的楔形文字的文件中就可以找到了，时间可以追溯到公元前2000年。但是这些问题既不是用今天中学生认得出来的记号来写的，解法也不是用的已经成了今天中学代数课程的特征的一般方法。这些文件提出一些特定的题目，用一些如同秘诀一样的步骤给出特殊的解，没有一般的理论论证，题目大多已经改造成了几何题目，例如量度直线段和量度具有特殊面积的曲面。例如下面就是从藏于英国博物馆的泥砖（编号为BM13901，问题1）上抄录翻译出来的，其年代约为公元前1800——1600年：

问题1  我将以正方形的面积与边长相加得0：45，写下系数1。取1的一半，0：30 自乘得0：15，0：15加上0：45得1，这是1的平方。1减去自乘数0：30，得0：30，即正方形的边长。

用现代记号，这就是求解方程x^2＋1x=3/4。这里要注意，巴比伦人用的是60进制，所以

同理，0：30=30'=30/60=1/2；0：15=15'=15/60=1/4。然后，记边长为 x，泥板上的文字要求取线性项的系数1，把它的一半，即0：30 平方，得到0：15，即1/4。再把0：45加进去，这样就算出了现代记号下的

亦即1/4+3/4=1的平方根，但是，1仍为1的平方根，所以平方根仍为1。再用-(b/2a)加进去，亦即文中所谓减去自乘数（本书原文没有“自乘数”这几个字，而是“在得到的0：30中挖掉它”），又得到0：30，即1/2，这就是正方形的边长想x。现代读者容易看到这就等价于现在所称的二次方程式，但是巴比伦泥板就一个特定问题用文字写出了它的文本，而对于另外的特定问题，就要再重复一次这个文本。这里并没有现代意义下的方程式。巴比伦的作者们是用文字来构筑一个几何图形。类似的问题和类似的算法解在埃及的文件如莱因德纸草书里也可以找到，这本纸草书据信年代为公元前1650，而且是录自更早一个半世纪前的文本，

这种早期的文件都是以问题指向和非理论途径为特征的，这与欧几里得在他的几何学杰作《几何原本》（约公元前 300年）中引入数学的公理化的演绎的途径形成了鲜明的对照。在那部书里欧几里得在显示的定义和少数几个公理或者说是自明的真理的基础上，进而在严格几何的背景下，导出了已知的结果——但几乎可以断定还有一些迄今未知的结果，在公理化背景下确定了欧几里得严格性的标准。但是这种本质上是几何的文本与代数有什么关系？考虑《几何原本》卷Ⅱ的第六个命题。这一卷表面上是讲平面图形，特别是四边形的：

若直线AB在C点平分，在把直线BD加上去，成为直线AD。由整个直线AB和加上去的直线BD为一边，以加上去的直线BD为另一边AK成一矩形ADMK。它与半条直线上的正方形合在一起，等于半条直线CB加上附加上的直线BD】的正方形。

虽然看起来是作了一个几何作图，它也可以同样看成是两个几何作图（即一个矩形和一个正方形）的面积相等。所以，它描述的事实应该能够写成一个方程式。

欧几里得《几何原本》卷 II 的第六个命题

上给出了欧几里得的作图的图示：先证明了矩形ADMK的面积等于矩形CDML和HMFG的面积之和，然后再把CB边上的正方形，即LHGE，分别加到矩形CDML和HMFG上去，这就给出了正方形CDFE。不难看到这就等价于中学里讲的"补成长方形的方法"。如果再令CB=a，BD=b，又看到它等价于代数等式（2a＋b）b＋a^2=（a＋b）^2。确实是等价，但是对于欧几里得，这是一个特定的几何作图，一种特定的几何等价性。由于这个关于几何学的理由，欧几里得除了正的实量以外，不可能处理其他对象，而几何图形的边只可能用这种量来量度。负的量没有进入，也不可能进入，欧几里得的数学天地基本上是几何的数学天地。

虽然后来欧几里得关于严格性的几何标准被视为数学成就的一个顶峰，但在许多方面，它在经典的希腊古籍的数学里面并非典型的。这方面的例子没有比阿基米德更好的了，而许多人认为在所有历史时期中，如阿基米德这样的最伟大数学家不过三四人而已。而阿基米德也如欧几里得一样，是几何地提出和解决特定问题的。当由几何学规定了严格性的标准时，不仅负数得不到考虑，而且我们认为是多项式方程的，只要次数大于3，也基本上得不到考虑。

然而，还有一位具有极大重要性的数学家，就是亚历山大里亚的丢番图，而他在三世纪中叶是很活跃的。他也像阿基米德一样。提出的都是特定问题。但是他是以一种算法风格去解决这些问题的，比起阿基米德的几何作图方法。更相似于老巴比伦的文本。

丢番图的名著是《算术》（Arithmetica）一书，他在其中提出了一般的不定问题，而在给出特定的解法以前，先要确定解应该具有特定的形式。他对这些问题的表述与纯粹使用文字的风格大不相同，而影响了他以后的好几个世纪。他使用的记号也更加代数化，最终证明对于16世纪的数学家颇有启发。特别是他使用了特殊的简写方式，使他能够处理未知数的前六个正负幂以及零次幂。这样，他的数学再也不能是欧几里得和阿基米德那样的“几何化的代数”了。

例如考虑《算术》卷Ⅱ里的一个题目：

求三个数，使其中任一个的平方减去下一个都等于一个平方。

用现代记号来写，他先规定关注以下形式的解：（x＋1，2x＋1，4x＋1）。很容易看到

所以附加条件中有两个已经满足。但是他还要求

也是一个完全平方，他就随意地令此式等于25x^2，所以就得到16x^2＋7x=25x^2，丢番图由此决定取x=7/9来满足这个条件。这样他就得到了问题的一个解

于是问题解决。他并没有给出解法的几何论证，因为他觉得没有必要；他需要的就是一单个数值解。他没有建立起我们认为是更一般的方程组，也没有打算找出所有的解

丢番图生活于阿基米德去世后四个世纪，他既不研究几何学，也不研究现代意义下的代数学，他所提出的问题和得到的解答也和欧几里得及阿基米德大不相同。 丢番图在何种程度上是创造了一个全新的途径，或者只是延续了亚历山大里亚可以称为"算法化的代数"的传统，而与"几何代数"相对立，对此学者们仍不清楚。但是很清楚，当丢番图的思想在16世纪传入拉丁西方后，这些思想对于长期受到几何学的权威制约的数学家们提出了新的可能性。

然而数学思想的传递是一个复杂的过程．在罗马帝国覆灭以及学术在西方继之衰落以后、无论是欧几里得的传统还是丢番图的传统最后都进入了中世纪的伊斯兰世界。在那里，这些传统不仅得到了保存，还得到了进一步的研究与扩展。

花拉子米

阿尔·花拉子米是巴格达的皇家建立的"智慧宫"里的学者。他把欧几里得的《几何原本》第二卷里面所讲的几何论证，和可以追溯到古代巴比伦的精巧的解题算法连接了起来。特别是，他写了一本关于实用数学的书，现在简称为《代数学》。因为他不使用负系数和零系数，所以就把现在只需归为一类的二次方程式，分成了六类。例如，他考虑了所谓“平方和根等于数”的一类的一个例子：“一个平方和十个根等于三十九"，他的用乘法、加法和减法来表示的算法解恰好与上面所说的泥砖上的解法完全一样。

然而、对于阿尔·花拉子米，这还不够，他说：“我们还必须用几何来证明这个问题的解法是真理，而同是这个问题，我们已经用数来解决了"，然后他就接着用几何方法来"补足正方形"，很像欧几里得在《几何原本》第二卷中所做的那样，不过没有那么形式化。一位比阿花拉子米晚了大约一代人的埃及伊斯兰数学家，在几何算法背景下，引入了更高水平的欧几里得形式化。这样把二者并列使得几何学里的面积和直线的关系可以用数值的乘法、加法和减法显示地表现出来，这一关键的步骤终于提示了从特殊问题的几何解法转向一般类型的方程式的代数解法。

奥马尔·哈亚姆

奥马尔·哈亚姆（约公元 1050-1130），一位数学家和诗人，在这条路上走了另外一步。他写了一部书，书名仿照阿尔·花拉子米的书，也叫《代数学》（Al-jabr），在书中他系统化地解决了我们现在认识到是三次方程式的问题，但是是在没有负系数和零系数的情况下。哈亚姆也仿照花拉子米给出了几何论证，但是他的著作更甚于他的前人，可以看作是对于特定问题的一般解题技术，也就是更接近代数概念。

到了12和13世纪，伊斯兰的学术成就，以及由伊斯兰学者们译为拉丁文而保存下来的希腊学术成就，已经渗入中世纪的欧洲了。特别是斐波那契读到了阿尔·花拉子米的著作，不仅认识到其中详细说明的阿拉伯记数系统可以对会计和商业有用，也认识到花拉子米的理论讨论的重要性，包括认识到我们可以解释为一次和二次方程式的几何证明与算法求解的联立。在他著于1202年的《算经》一书里，斐波那契几乎是逐字陈述了花拉子米的工作，赞扬其种种优点，这样就把这种知识和方法传入了拉丁西方。

斐波那契对于阿尔·花拉子米的书，特别是对实用部分的介绍、很快就在欧洲流行开了，所谓的"abacus"学校（这里的abacus一字是指斐波那契的《算经》一书，而不是中国的计算工具算盘，珠算算盘英文也是 abacusl）在意大利半岛上兴起如雨后春笋，特别是在14和15世纪，目的是为了日益商业化的西方世界训练会计和簿记人员。这些学校的教员，就是所谓"abacus 师傅"都是依赖在斐波那契的书中找到的算法，并且加以发展。另一个传统，所谓Coss传统（Coss 是一个德文词，"有技巧的计算"，意味着代数），则在欧洲的日耳曼地区同时发展起来，目的在于把代数引入那里的主流。

1494年，意大利数学家帕乔利写了一本书，它是所有当时已知数学知识的概览，即《概要》，而且还包含了威尼斯商人们在文艺复兴时期所用的会计系统，帕乔利也被称为"会计学之父"。到了那时，花拉子米和斐波那契所陈述的几何论证，在意大利本国语言中早已没有了。帕乔利的《概要》就把这种几何论证重新推上了数学的前台．帕乔利不知道奥马尔·哈亚姆的著作，还说二次方程式中只发现了阿尔·花拉子米和斐波那契所研究过的六种特殊情况，书中还讲到三次方程式的求解。

帕乔利

帕乔利的书还突出了一个关键的未解决的问题：对于各种三次方程式能否找到算法解法？如果可以、对这些算法解法能否几何地加以论证，而且得到实质上类似于在阿尔·花拉子米和斐波那契的教材中的那些证明？

在好几位最终肯定地回答了第一个问题的16世纪意大利数学家中，就有卡尔达诺。他在1545年出版的《大术》（Ars Magna）一书，对于各种三次方程式提出了算法解法及其几何论证，在阿尔·花拉子米和斐波那契“补足了正方形”的地方，有效地"补足了立方体"，他也提出了由他的学生费拉里发现的四次方程式的算法解法。这些解法使他感到困惑，因为没有几何的论证。他在自己的书中写道：“所有这一切，直至三次方程式在内，都得到了完全的证明。但是其他我们想要加上的，或者出于不得已，或者出于好奇心，我们还只能提出来"。代数学在打破它孕育于其中的几何的蛋壳。

丢番图的《算术》在16世纪60年代被译为拉丁文，带来了它的简洁的风格和非几何的方法，加速了这个过程。代数，作为一种一般的解题的技巧，可以应用于具有几何、数论和其他数学分支背景的问题，是在几本书里建立起来的，这里有庞贝里1572年的《代数》一书，特别是维特1591年的《分析的艺术引论》一书。这一本书的目的，用维特的话来说，就是"不留下任何没有解决的问题"，而为此目的，他发展了真正的记号——用元音字母表示变数，而用辅音字母表示系数——还有解一个未知数的方程式的方法，他把他的技巧称为"美丽非凡的算术运算"。

维数

然而，维数（表现为所谓齐次性定律）对于维特仍旧是一个问题。按照他的说法："只有齐次的量才可以互相比较"。问题在于他区别了两种量："阶梯量"，即（A边）（用现在的记号就是x）、（A方）（用现在的记号就是x^2）、（A体）（用现在的记号就是x^3），还有"比较量"，就是系数，有一维的（B长度）、二维的（B平面）、三维的（B 立体）等等。然后，按照齐次性定律，维特可以写出（A 体）＋（B平面）（A边）（用现在的记号就是x^3＋bx）。

因为（A体）的维数是3，二维系数（B平面）的维数是2。一维变数（A 边）是1，所以其乘积的维数也是3。但是他不能合法地把三维变数（A体）和一维系数（B长度）与一维变数（A边）的二维乘积相加（而在现在的记号下，它仍是x^3＋bx）。尽管如此，他的《分析艺术》这本书仍然准许他把字母与特定的数相对立来相加、相减、相乘和相除，而字母只要满足齐次性定律就可以作二次、三次、四次，实际上是任意次的幂。他有了一个初步的代数，但是未能用之于曲线。

最先做到这一点的数学家是费马和笛卡儿。他们互相独立地发展的解析几何、对于今天学代数的中学生来说是非常熟悉的。费马和英国人哈里奥特的工作受到维特的影响，而笛卡儿不仅引入了我们今天的记号规约（即用x，y，z表示变量，用a，b，c表示常数），而且开始把代数算术化．他引进了一个单位，这就使他可以把所有几何量都解释为直线段，不管是x，x^2，x^3，x^4，以至于x的任意次幂，都是直线段，这样他就消除了对于齐次性的担心。

费马在这个方向的主要工作是他用拉丁文写于1636年的一篇手稿，题为“论平面和立体的轨迹”，这篇手稿只在17世纪初在他的数学朋友们中间流传；笛卡儿的主要著作《几何学》则是他的哲学著作《方法论》的三个附录之一，出版于1637年。这两部著作都被认为是确定了几何曲线与二未知数的方程的同一性，或者换句话说就是建立了解析几何，从而把代数方法引用来解决以往认为是几何的问题。在费马的情况，这些曲线是直线和圆锥截线————总之是x和y的二次式；笛卡儿也这样做了，但是他还更为一般地考虑了方程式，抓住了多项式方程的根的问题，这与多项式的变换和化简有关。

特别是，笛卡儿对于我们现在所说的代数的基本定理已经有了一个初步的版本，虽然他没有给出证明，甚至没有给出一般的陈述。这个定理说，n次多项式方程

在复数域中恰好有n个根。例如，他一方面坚持，一个给定的n次多项式可以分解为n个线性因子，同时他也认识到，三次方程式x^3-6x^2＋13x-10=0有3个根：一个实根2，还有两个复根。当他进一步探讨这个问题时，还发展了包含适当的变换的代数技巧来分析5次和6次多项式方程。笛卡儿既然已经摆脱了对于齐次性的担心，就可以自由地用他的代数技巧来探讨倾向于几何的卡尔达诺很明显难以涉足的领域。牛顿在1707年他的《万有算术》（Arithmeica Universalis）一书里，在把代数从几何的担心中解放出来的方向上又向前走了一步，论证代数的完全算术化，以实数和通常的算术运算作为代数的模型

笛卡儿的《几何学》至少突出了两个问题供代数作进一步探讨，即代数的基本定理和四次以上的多项式方程式的解法。虽然18世纪的数学家如达朗贝尔和欧拉都企图证明代数的基本定理，但是给出严格证明的第一人是高斯，他在一生中共给出了四种不同的证明。

第一个是一个代数几何证明，出现在他1799 年的博士论文中，而第二个证明与此不同，发表在1816年，而用现代术语来说，本质地涉及构作多项式的分裂域，代数的基本定理确定了一个给定的多项式方程有多少个根，但是对于这些根确切地是什么，又如何精确地把它们找出来，这个定理没有提出任何见解。那个问题和它的种种数学变形，在18世纪晚期和19世纪激发了许多数学家，而且最终成为在 20 世纪初形成现代代数学的几条数学线索之一。来自代数的基本定理的另一股数学潮流来自企图理解（一个或多个）n个未知数的多项式组的一般性态，还有一个潮流则来自用代数方法研究数论问题的努力。

求多项式方程的根的问题，提供了一个连接中学教学与做研究的数学家的一个直接联系。今天的中学生们都要使用二次方程的公式来计算二次方程式的根。为了导出这个公式、我们需要把已给的方程变换成比较容易求解的形式。卡尔达诺和费拉里对于三次和四次方程也通过比较复杂的操作得到了根的公式。自然要问对于更高次的多项式方程能不能也这样做？更准确地说，有没有一个求根的公式，其中只含有通常的算术运算——加、减、乘、除以及开方？如果有这样的公式，就说这个方程可以用根式求解。

虽然18世纪的许多数学家（包括欧拉、范德蒙德、华林、贝祖）都对于能否用根式解更高次的多项式方程做过努力，但是直到大约1770-1830年间才有了显著的突破，特别是在拉格朗日、阿贝尔和高斯的工作中。

拉格朗日在1771年发表的一组很长的论文《对于方程的代数解法思考》中，试图通过详细分析三次和四次方程的特例，来决定代数方程解法下面是否有深层的一般原理。拉格朗日以卡尔达诺的工作为基础，证明了一个形如x^3+ax^2+bx+c=0的三次方程总可以通过一个变换来消除其中的平方项，成为x^3＋px+q=0，而且其根可以写成x=u＋v，其中u^2，n^3 是某个二次方程之根。然后拉格朗日就可以证明，如果 x_1，x_2，x_3是这个三次方程的三个根，则中介的函数 u，v可以写成

其中的α是一个三次单位原根。这就是说，u，v可以写成x_1，x_2，x_3的有理表达式，或称为预解式。反过来，如果从x_1，x_2，x_3的一个线性表达式

开始，然后让x_1，x_2，x_3作任意的排列得到6个表达式，其每一个都是一个6次方程的根，分析这个6次方程（利用多项式的对称性质），就会再次得到上面u，v的表达式。拉格朗日指出，像这样的向两端分析涉及中介的表达式，这些表达式又都是一个可解的方程之根，同时也涉及某个有理表达式在根的排列下的动态，这样做，在三次和四次两种情况下都会给出完全的解。即同样一种途径，给出了两类方程的解答。

但是这个方法可否推广到五次和更高次多项式呢？拉格朗日未能把它推进到5次情况，但是以他的思想为基础，首先是他的学生鲁菲尼在18与19世纪之交怀疑5次方程其实不可能用根式来解，然后是年轻的挪威数学家阿贝尔，在19世纪20年代，确定地证明了5次方程确实不能用根式来解。这个反面的结果仍然留下一个未解决的问题：哪些代数方程可以用根式来解，为什么。

拉格朗日的分析似乎是强调了一点：这个问题在3次和4次方程的情况下的解决、关键性地分别依赖于3次和4次单位根。由单位根的定义，也就是依赖于特别简单的多项式方程x^3-1=0，x^4-1=0。所以很自然地会去检验一般的所谓分圆方程式x^n-1=0，并且考虑对于哪些n、n次单位根是可以实际构作出来的。 这个问题用等价的代数语言来表述就是：对于哪些n、n次单位根可以对整数通过通常的算术运算和开平方（但不开更高次方）表示出来？

这是高斯在他的《算术研究》里所讨论的许多问题之一。他最著名的结果之一就是正17边形可以用圆规和直尺作出来（也就是17次单位根可以构作出来）。在他的分析过程中，不但使用了类似于拉格朗日所发展出来的技巧，还发展了一些关键性的概念，例如模算术和p为素数时的“模世界”以及后来称为循环群的本原元素（即生成元）的概念。

大约1830年左右，伽罗瓦从拉格朗日关于预解式的分析和柯西关于排列和代换的工作得到了多项式方程可用根式求解这个一般问题的答案，然而我们并不清楚伽罗瓦在多大程度上也熟悉高斯的工作。虽然伽罗瓦的工作借用了早前的思想，但是在一个重要的方面，它基本上是全新的。前人的努力是朝向计算次数一定的多项式方程的根的显式的算法，伽罗瓦则提出了一个理论程序，使得他能够评定出一个方程是否可解，而这种程序是从给定的方程导出的，但是更为一般。

更详细一点来说，伽罗瓦用了两个新的概念重新改造了这个问题。这两个概念就是：域（伽罗瓦称之为“有理性的区域”）和群（准确一点说是置换群）。如果一个n次多项式方程f（x）=0的n个根都在它的有理性区域（其系数就来自这个域），我们称之为基域，就说这个方程在此基域上是可约的；反之则说它在此域上是不可约的。然而，它可能在一个较大的域上是可约的。例如，考虑多项式x^2＋1 作为R上的多项式。我们从中学代数里就知道，它不能分解为两个实线性因子的乘积，但是它在复数域上则可以分解

所以如果考虑所有形如α+bi的数，其中 a，b∈R，就会得到一个较大的域 C，使得多项式x^2＋1在其上是可约的。如果F是一个域，而 x ∈ F 在其中不能开n 次方，则利用一个类似的过程，可以把一个元y添加到F中去，这个y要规定适合y^n=x，称为一个根式。添加以后就得到一个新域，比原来的F更大。伽罗瓦证明了如果可以通过添加根式，而逐次地把F扩大为一个域K，使得f（z）可以在K中分解为n个线性因子，则f（x）=0可以用根式解出。他发展了一个程序，其中有两个关键点：一是把一个元素 ，特别是一个所谓的本原元素，附加到基域上去的概念；二是分析这个新的扩大了的域的内部结构，就是分析所有这样的代换，使得f（x）=0的n 个根的有理表达式不变。

这些代换（即K的自同构）形成一个（有限）群，而伽罗瓦就是对这个群进行分析，伽罗瓦分析的这个群论的侧面特别具有潜力，他引进了一些概念，虽然用的不是当今的名词。例如群的正规子群、因子群、可解群等等。这样，伽罗瓦就从群及其内部结构这个抽象的视野，解决了多项式方程何时可以用根式求解这个具体的问题。

刘维尔

伽罗瓦的思想，虽然是在19世纪30年代早期就概括地提出了，但是迟迟没有引起更广大的数学界的注意，直到1846年才在刘维尔的《纯粹与应用数学杂志》上发表，但没有得到充分的理解，直到20年后首先在塞雷特的《高等代数教程》，更进一步在约当的《论代换和代数方程》这两部教材中得到了进一步的阐述。特别是后一本书，不仅突出了伽罗瓦在求解代数方程上的工作，还把置换群的理论沿着它在拉格朗日、高斯、柯西、伽罗瓦等手上的发展道路，展开了其一般的结构理论。

到了19世纪末，群论的发展线索，原来是来自用根式求解代数方程的努力，现在与来自其他三个方面的努力组合在一起了。这三个方面就是：

第一，用乘法表来定义的群的抽象概念，这是由凯莱、提出的；

第二，例如西罗（挪威数学家）、赫尔德（德国数学家）所做的关于结构的工作；

第三，李和克莱因几何方面的工作。

到了1893年，韦伯把这些早期的工作汇编起来给出了第一个关于群和域这两个概念真正的抽象定义，这样就把它们重新铸造成为现代数学家们熟悉得多的形式，这以后群和域已经在极为广泛的数学和物理领域中有了中心的重要性。

求解代数方程的根的问题，是求解含有1个未知数的多项式方程。然而，早在17世纪后期，像莱布尼兹这样的数学家就开始关心求解含两个以上未知数的联立的线性方程组的技巧了。但是他的工作不为当时的人所知，莱布尼兹考虑了含有3个未知数的3个线性方程，并且以系数的一个特殊表达式的值来决定其可解性．这个表达式就等价于柯西后来称的行列式，而且最终与系数的一个n×n正方形的阵列，即矩阵联系起来。

克拉默

这些工作在18世纪中期也由克拉默在求解含n个未知数的n个线性方程这个一般背景下独立地完成。行列式理论，很快地就从这些起源独立于求解线性方程组的背景、自身变成了代数研究的主题，吸引了诸如范德蒙德、拉普拉斯和柯西这样的人的注意。这样，行列式就成了新代数结构的一个例子，它的性质也被系统地研究了。

虽然行列式是被从矩阵角度来研究的，但矩阵本身及其名称却是由西尔维斯特提出的，其理论本身最初并不是始自求解线性联立方程，而是来自对含有两个、三个以至一般的n个变元的齐次多项式作变元的线性变换而来的。例如高斯在《算术研究》里面就考虑了具有整数系数的二元、三元的二次型

和

这样的表达式怎样受到变元的线性变换的影响。在三元形式情况下，高斯作了3个2变量的线性变换

并且把这个变换的系数排成一个正方形的阵列

而且在表明两个变换的复合是什么的过程中，显式地给出了矩阵乘法法则的例子。 到19世纪中叶，凯莱开始研究矩阵本身，研究矩阵的理论作为一个数学系统本身就具有的性质。这样的思路最终被用代数理论来重新加以解释，发展成为线性代数和向量空间理论的独立的篇章。

另一个从分析齐次多项式作线性变换而出现的理论是不变式理论，而这也是由高斯的《算术研究》开端的。和他研究三元二次型的情况一样，他也对二元的二次型作线性变换

结果得到一个新的二元形式

而

高斯注意到，如果把第二个式子平方，再减去第一、第三两个式子的乘积就会得到关系式

如果用西尔维斯特在19世纪 50年代早期发展起来的语言来说，高斯已经认识到原来的二元二次型的系数的表达式

是一个不变式。意即在上述线性变换下，它的值除了增加了变换行列式的幂以外，并未变化。当西尔维斯特造出这个名词的时候，不变这个现象也出现在英国数学家布尔的工作中，而引起了凯莱的注意。但是一直到凯莱和西尔维斯特在19世纪40年代晚期在伦敦相遇以后，他们才开始追随不变式理论本身，其目的是找出一个含有n个未知数的m次齐次多项式的所有不变式，以及多个这种多项式的同时的不变式。

虽然凯莱（特别是西尔维斯特）是从纯代数观点来追随这条研究路线的，不变式理论在数论和几何学方面也有意义，前者有艾森斯坦和厄尔米特；后者则有奥托·哈塞、哥尔丹和克莱布什等人。特别有趣的是去了解与一个特定的形式或一组特定的形式相关的到底有多少个"真正不同的"不变式。1868年，哥尔丹取得了重要突破，证明了任意二元形式的所有不变式都可以用其中有限多个表示出来。但是，当他开始考虑更多元形式时，终因计算太繁而失败。

然而，到了19世纪80年代末 90年代初，希尔伯特引入了新的抽象的与代数理论相关的新概念，不仅重新证明了哥尔丹的结果，而且也证明了这个结果（称为有限性定理）：对于任意多的n个未知数的任意高m次齐次多项式都是成立的。由于希尔伯特的这项工作，研究的重点就从具体计算转到指向结构的存在定理，这很快就与抽象的现代代数联系起来了。

早至公元前6世纪，毕达哥拉斯学派就已经从形式角度去研究过数的性质。例如，他们定义了完全数的概念，即等于自己的所有因子（除此数本身以外）之和的正整数，例如6=1＋2＋3，28=1＋2＋4＋7＋14。到了16世纪卡尔达诺和庞贝里都去研究一种新的形如

的表达式，其中a，b是实数，而且探讨了它们的计算性质。到17世纪，费马高调宣称他能够证明当n为大于2的正整数时，方程

没有整数解，这一结果称为费马大定理。18和19世纪，当人们试图证明费马所声称的结果确实为真时，他们的努力的核心思想是生成新的数系并从代数上去研究它们。这些数系之推广整数的概念和伽罗瓦对于域的推广非常相似。这种生成和分析新数系的灵活性、当代数学进入20世纪时，将要成为现代代数学的特点。

第一个沿着这条道路前进的人是欧拉。当他证明n=3时的费马大定理时，引进了形如

的数所或的数系，其中 a，b是整数。然后他就把它们分解为素因子，和分解普通的整数一样，而不作进一步的论证。到了19世纪二三十年代，高斯对于现在称为高斯整数的数系进行了比较系统的研究。高斯整数就是形如

的数，其中 a、b是整数。他证明了高斯整数和普通的整数一样，在加、减、乘下面都是封闭的；他定义了单位元、素数和范数等概念，以便对于它们证明算术的基本定理仍成立。这样他就证实了还有完整的新的代数世界等待人们去创造和探索。

欧拉是受到了他在费马大定理方面的工作的推动，而高斯则是试图把二次互反律推广为双二次互反律。在二次的情况下，问题是：若a和m都是整数，而m≥2，我们说a是一个平方剩余 mod m，如果方程x^2=a有一个解 mod m存在，也就是说，存在一个整数x使得x^2=a mod m。现在设p，q是互异的奇素数。如果知道p是否平方剩余 mod q。是否有一个简单的方法来说出q是否也是一个平方剩余 mod p？

勒让德在1785年提出并且回答了这个问题：如果p和q都是同余于1 mod 4，则p mod q， q mod p 的情况是一样的；如果 p 和 q 都是同余于3 mod 4，则它们的情况相反。但是勒让德的证明是有问题的。

到1796年左右，高斯得到了第一个严格的证明（而且他最终一共得到了8个不同的证明）。在19世纪20年代，高斯就双二次等价性提出了类似问题，即

正是由于企图回答这个新问题，使得高斯提出了高斯整数，而且发出了一个信号：更高次剩余理论需要其他类型的"整数"。虽然艾森斯坦、狄利克雷、厄尔米特、库默尔、克罗内克等人都按照高斯的精神把这些思想推向前进，直到戴德金在1871年为狄利克雷的《数论讲义》所写的第10个附录才基本上通过提出新概念，不是由数论的观点，而是由集合论的观点，公理化地重新处理这个问题。例如提出了一些一般概念如城、环、理想和模，而用这些新的抽象结构来分析他的数论背景。

从哲学角度看来，他的战略和伽罗瓦的并无大异：把手头的“具体”问题，翻译为新的更加抽象的语言，使得能在“更高”的层次上更干净地加以解决。到了20世纪初，艾米·诺特把戴德金的思想推向前进，有助于创造一种从结构的角度看待代数的途径，这对于20 世纪的数学是一个特征。

哈密顿

与欧洲大陆上19世纪"数"的概念的数论性质的演化相平行，产生了一组非常不同的发展方向，首先发生在英伦诸岛。在19世纪30年代，爱尔兰数学家哈密顿提出了对于复数的“统一的”解释，而原来的情况在他看来是回避了一个逻辑问题：实数加虚数，犹如桔子加苹果，是什么意思？给定了实数a和b 以后，哈密顿把复数a＋bi当作是一个有序对（哈密顿称之为一个“偶”）（a，b）。 然后，他就来定义这些偶的加、减、乘、除。当他认识到这也提供了一个表示复平面上的点的方法以后，他自然地就会问，能否构造一种代数的有序三元组来表示3 维空间的点。

在对这个问题作了10年时断时续的沉思以后，哈密顿最终不是用三元组，而是用四元组回答了这个问题，这就是所谓四元数。四元数就是这样的“数”：

其中 a，b，c和d是实数，而i，j，k 满足以下的关系式：

和在2维情况一样，加法可以按分量来定义，而乘法则是这样定义的：虽然每一个非零元都有乘法逆，但是却是不可交换的。这样，新的数系不服从算术的"通常的"法则。

虽然，英国的哈密顿的同时代人中，有一些人质问：数学家有多大的自由来创造新的数学世界、另一些人如凯莱立刻把这个思想向前发展，提出一种八元数，其乘法不仅是不可交换的，后来还发现甚至不适合结合律。对于这种系统自然发生了一些问题，但是哈密顿本人就提出了以下的问题，即如果系数域，或称基域，不是实数而是复数，又会发生什么情况？这时，容易看到两个复四元数

换句话说，复四元数中有零因子，即相乘以后得零的非零元素，这是另一个把它们与整数的性质基本区别开来的性质。在一些数学家们的努力下，这一条思路导致了一种能够自立的数学结构的出现，这种结构叫做"代数"。这个发展自然地和矩阵理论通过高斯、凯莱和西尔维斯特的工作结合起来。它也和并非无关的向量空间融合起来（n维代数就是除加法和内积以外还有一个向量乘法的n维向量空间），这是来自类似于格拉斯曼的某些思想的。

到了1900年，许多代数结构已经被确认了，其性质也被探讨了。原来各在自己的背景下的孤立的结构现在也在其他背景下被发现了，有时还全是意料之外的事。这样，这些结构比起原来发现它们时人们所了解的在数学上还要更加一般，在20 世纪的前几十年里面，代数学家越来越认识到这些共同点，即它们都具有群、环、域这些结构，而在更抽象的水平上考虑问题。例如有哪些有限单群？它们能否分类？

此外受到康托、希尔伯特和其他人的集合论和公理化的工作的启示，他们也欣赏起分析的公共标准，并且把公理化给分析带来的结果与自己领域的情况加以比较。例如斯坦尼兹在1910年给出了域的抽象理论的基础工作，而四年以后，弗朗克尔也对环的理论做了这件事。当范德瓦尔登在19世纪 20年代末认识到这些可以解释为：在基本原则上与希尔伯特在不变式理论中的工作、与戴德金和艾米·诺特在代数数论中的工作都互相吻合。这样一种解释在1930年就成了范德瓦尔登的经典的教科书《近世代数》，成了以结构为指向的"现代的代数学"的典范，而包含了中学教的多项式代数，而且仍然刻画了今天的代数思想。