复数 complex number
形如的数，其中、是实数，满足或，称为虚数单位。称为实部，记作Rez；称为虚部，记作Imz。虚部不等于零的复数，称为虚数；实部等于零的虚数，称为纯虚数。这两个名词反映出复数概念曲折的形成过程，现在已不大使用。
1.复数的运算
复数可进行四则运算。对于、有
（假定即）
全体复数关于加法与乘法构成一个域。1799年，C.F.高斯在他的博士论文中证明了复数域是代数封闭的（即任何系数是复数的多项式方程都有复数解）。这个结果有时称为代数基本定理。
对于，称为它的共轭复数，记作；称为它的模，记作，有，，
2.复数的几何表示
在平面上取定直角坐标系后，可以用坐标为的点表示复数（见图）。
此时轴称为实轴，轴上（除原点外）的点表示纯虚数。轴上的点表示实数，轴上（除原点外）的点表示纯虚数。
复数也可用向量表示，此时就是的长度。与实轴正向的夹角，称为的辐角，记作。辐角有无穷多个，彼此相差的整数倍。通常取与之间的辐角，称为辐角的主值。记作。
3.复数的三角表示与指数表示
如果记，，则有，，于是得复数的三角表示。由欧拉公式，还可得到复数的指数表示，用这两种表示，复数乘除法显得更简单；如果
则
即两复数之积（商）的模是其模之积（商），而辐角是其辐角之和（差）。
4.复数概念的形成
文艺复兴时期意大利数学家G.卡尔达诺发现求解某些三次方程不可避免要用到负数开平方，但说它不中用。
R.笛卡尔摒弃这种新的数，引进了“虚数”这个词（1637年）。
I.牛顿也把虚量排除在数的概念之外，而G.W.莱布尼茨则说它是介于存在与不存在之间的两栖物。
C.欧拉虽在计算中广泛使用这种数，并提出用表示，但仍说负数开平方不算在可能的数之中。
大体来说，这种新的数在将近3个世纪中被看作“不可能的量”。直到1831年C.F.高斯提出几何表示并首次使用“复数”这个名词之后，复数才逐渐为数学界广泛接受。
虽然复数起源于形式上的代数过程，但如今已通用于数学、物理学，特别是流体力学、电工学等各学科领域中。
摘自：《中国大百科全书（第2版）》第7册，中国大百科全书出版社，2009年
