【兰利不定角度问题】
你注意到“这条辅助线”了吗?
"非典型问题"是什么样的问题
兰利问题(求角α的角度)
玛丽:想要具备数学能力,认真做题很重要。
马苏:只要你的目标不是高门槛的学校,一边学习①类问题,一边拓宽自己所掌握的知识来解决②类问题就可以了。
玛丽:如果没有数学天赋,还是很难的吧?
马苏:要扩展知识点,确实需要应用能力。不过,这是知识的延伸,所以你可以通过努力来实现。真正需要数学天赋的问题,其难度与②类问题不同。
玛丽:欸……那是什么问题呢?
马苏:比如下面这样的问题。
问题:在图中,求出∠α的大小。
玛丽:嗯?上图既不是平行四边形也不是梯形,是普通的四边形吧?
马苏:是的。所以,不能使用平行线的内错角和三角形的全等来解决。
玛丽:四边形中三角形角度的信息也不充分,仅靠这些是不可能得出答案的。
马苏:这是一个被称为"兰利问题"的著名问题,如果画上平时想不到的辅助线,你会发现答案是30°。
首先,在 CD 上取一个点 E ,使 ∠EBC =20°,如下页图所示。
图二
玛丽:是吗?为什么要在这么奇怪的地方取点 E 呢?
马苏:这就是所谓的"天才的灵感"吧。虽然看起来很奇怪,但很有效。下一步,画出辅助线 AE 和 BE。 则, BC = BE 。
玛丽:这是为什么呢?
马苏:首先,∠BCA =50°、 ∠ECA =30°,所以,∠BCE =80°。在三角形 BCE 中,∠ CBE + ∠BCE =100°。
由于三角形的内角和为180°,所以,∠BEC =80°。
玛丽:也就是说,三角形 BCE 有两个内角都是80°。
马苏:你注意到了。
换句话说,∠BCE=∠BEC =80°,所以,三角形 BCE 是等腰三角形,如下图所示。
图三
我们接着看三角形 ABC 。在三角形 ABC 中, ∠BCA =50°、 ∠ABC =80°,所以,由三角形的内角和可知, ∠BAC =50°。
玛丽:此时,∠BCA = ∠BAC =50°,所以,三角形 ABC 也是等腰三角形!
马苏:没错。
由此,可知 AB = BC ,根据以上证明, AB = BE ,如下页图所示。
图四
玛丽:嗯?因为三角形 ABC 是等腰三角形……
马苏:因为三角形 ABC 是等腰三角形, AB = BC ,三角形 BCE 也是等腰三角形,所以 BC = BE 。即 AB = BC = BE 。
玛丽:原来如此。
马苏:下面来看看三角形 ABE.
因为 AB = BE ,所以三角形 ABE 是等腰三角形。
并且,顶角∠ABE =60°,由此可知,三角形 ABE 是等边三角形。
玛丽:终于出现等边三角形了。
图五
马苏:现在看一下三角形BCD.由上图可知,∠BDC=180°-(60°+80°)=40°。由此,∠EBD=∠EDB=40°,BE=DE,所以三角形BDE是等腰三角形。
如果把相等的边整理出来,会发现AB=AE=BE=DE=BC
玛丽:这道题的图形相当特殊啊!
马苏:在这当中,请注意AE=DE,∠BEC=80°,∠BEA=60°.平角=180°,所以∠AED=40°,并且AE=DE,所以三角形EAD是顶角为40°的等腰三角形的底角。
玛丽:哇!这么说来就可以知道其它两个角的大小了。
图六
马苏:嗯。在上图中,∠ADE是顶角为40°的等腰三角形的底角,另外,等腰三角形的底角相等,所以
(180°-40°)÷2=70°
也就是说,∠ADC=70°
玛丽:大部分角度都知道了!接下来还需要知道什么呢?
马苏:现在终于可以求顶部的∠α了。如下图所示:
∠α的角度等于∠ADC减去∠BDC。已知∠BDC=40°,
∠α=∠ADC-∠BDC=70°-40°=30°
"非典型问题"不会也没办法
马苏:这个问题果然很棘手!
玛丽:这太难了……一会儿我还要再看4遍左右(汗)。
马苏:这个过程确实非常复杂。
但是,请冷静下来再看一看,基本上是简单的数学知识就能解决的问题吧?
玛丽:这么说来,确实如此!
所用的知识点,只有等腰三角形和等边三角形等事实。
马苏:这个问题之所以很难,是因为在几乎没有任何提示的情况下,需要"找出点 E ,并作出两条辅助线"。
玛丽:在所有的选择中,选中点 E 的理由几乎是事后才知道的。
马苏:没错。对于普通人来说,在画辅助线的阶段,还不知道能否推导出答案。
玛丽:虽说是"谜之线",但只要继续下去,答案就能一点一点推导出来。
马苏:像这样的"谜之线",如果没有数学天赋,是很难想到的。
玛丽:除非和马苏老师一样优秀,否则都会觉得很难吧……
马苏:不,我第一次碰到也是答不出来的。
我是因为本身就喜欢关于图形的问题,在中学的时候又遇到了兰利问题。我总在想:"为什么要画那样的辅助线呢?"顺便说一下,兰利问题可以通过改变问题陈述中角度的数值,来产生各种各样的问题。这次,我选择了其中解法较短的题目。
玛丽:那个世界真了不起啊。
马苏:虽说如此,如果不是特殊情况,这类问题也不会出现。
因为高考的目的是检验"高中数学水平能力",而不是"天才的灵感能力"。
玛丽:也就是说,在这些问题上不需要太努力吗?
马苏:是的。
③类问题主要是以奥林匹克数学为主的问题。一般来说,我认为用①类中频繁出现的问题和②类中应用的问题来培养自己的实力比较好。
你没必要因为无法解决像③类那种需要想象力的问题而感到沮丧。
玛丽的笔记
·有一些难题,如兰利问题,是无法通过背诵典型问题+应用能力来解决的。
·有些难题只有少数天才能解决,所以即使不能解决也没必要沮丧。
补充说明以上内容摘自日本数学家的著作《授人以渔的数学法则教科书》第三章“通过努力能解决的问题"和"需要天赋才可以解决的问题”。
本书作者是网站“高中数学的美好故事”的站长,在网站使用笔名马苏。
兰利问题由英国数学家兰利提出,已经有超过一百年的历史了。
除了本文的解法,还可以用三角函数法求解。最能够让人大彻大悟醍醐灌顶的解法是汤普森的18等分圆的方法。
连接圆的两个相邻的18等分点和圆心,就得到一个顶角为20°,两个底角为80°的等腰三角形。以此为基础,就可以构造出兰利的四边形(四边形ABMN)。
兰利问题考察的是数学方面的想象力和创造力,是需要天赋才能解决的问题。