数学包括对数字（算术和数论）、公式和相关结构（代数）、形状和包含它们的空间（几何）、和量及其变化（微积分和分析）等主题的研究。

大多数数学活动包括发现和证明（通过纯推理）抽象对象的性质。这些对象要么是来自自然的抽象（如自然数或“线”），要么是其基本属性定义的抽象实体，称为公理。一个证明由一些演绎规则对已知结果的一系列应用组成，包括先前证明的定理、公理和一些基本属性。证明的结果叫作定理。与物理定律相反，一个定理的有效性并不依赖于任何实验，而是依赖于其推理的正确性。

数学在科学中被广泛地用于对现象进行建模。例如，利用牛顿万有引力定律结合数学计算，可以高精度地预测行星的运动。数学真理独立于任何实验意味着这种预测的准确性只取决于描述现实的模型是否足够。因此，当一些不准确的预测出现时，这意味着模型必须改进或改变，而不是数学是错误的。例如，水星的近日点进动不能用牛顿的万有引力定律来解释，但爱因斯坦的广义相对论却能准确地解释。这个对爱因斯坦理论的实验验证表明，牛顿的万有引力定律只是一个近似值。

数学在许多领域都是必不可少的，包括自然科学、工程、医学、金融、计算机科学和社会科学。数学的一些领域，如统计学和博弈论，是在与它们的应用直接相关的情况下发展起来的，通常被归为应用数学。其他数学领域是独立于任何应用而发展的（因此被称为纯数学），但实际应用往往是后来发现的。一个典型的例子是整数因子分解问题，它可以追溯到欧几里得，但在RSA密码系统中使用之前没有实际应用。

早在有文字记录的时候，数学就已经是人类的活动了。然而，“证明”及其相关的“数学严密性”的概念首先出现在希腊数学中，最著名的是欧几里得的《几何原本》。

在文艺复兴之前，数学被分为两个主要领域，算术（致力于处理数字），和几何学（致力于研究形状）。在文艺复兴时期前后，出现了两个新的主要领域：代数和微积分。数学符号的引入产生了代数，代数包括对公式的研究和运算。微积分是一门研究连续函数的学科，它模拟了不同量（变量）的变化以及它们之间的关系。

数论‍

数论开始于对数字的运算，即自然数，后来扩展到整数和有理数。数论以前被称为算术，但现在这个术语主要用于与数字有关的计算方法。

数论的一个特点是，许多可以简单表述的问题，证明起来是非常困难的，需要来自数学各个部分的非常复杂的方法来解决。一个典型的例子是费马大定理，它于1637年由皮埃尔·德·费马提出，直到1994年才由安德鲁·怀尔斯用代数几何、范畴理论和同调代数等工具证明。另一个例子是哥德巴赫猜想，它声称每个大于2的偶数是两个素数的和。它于1742年由克里斯蒂安·哥德巴赫提出，到现在仍未得到证实。

鉴于所研究的问题和求解方法的多样性，数论目前分为几个子领域，包括解析数论、代数数论、数的几何（面向方法）、丢番图方程和超越理论（面向问题）。

几何‍

几何和算术一起是数学最古老的分支之一。它主要是为了测量和建筑的需要而开发的。

一个根本性的创新是古希腊人对证明的阐述：仅仅通过测量来验证，比如说，两个长度相等是不够的。这种性质必须通过抽象推理来证明，这些抽象推理来自先前证明的结果（定理）和基本性质（被认为是不言而喻的，因为它们太基本了，不能成为证明的主体假设）。这一原理是所有数学的基础，是为了几何学而详细阐述的，并在公元前300年由欧几里得的《几何原本》一书中系统化。

直到17世纪，欧几里得几何的方法和范围都没有改变，直到笛卡尔引入了现在所说的笛卡尔坐标。这是一个主要的范式变化，因为它不把实数定义为线段的长度，它允许用数字（坐标）来表示点，并使用代数和后来的微积分来解决几何问题。这将几何学分为两部分，它们的不同之处在于它们的方法，综合几何使用纯几何方法，解析几何系统地使用坐标。

解析几何允许研究新的形状，特别是与圆和线无关的曲线；这些曲线要么被定义为函数图（微分几何），要么被定义为隐式方程，通常是多项式方程（代数几何）。解析几何使得考虑高于三个维度的空间成为可能，这不再是物理空间的模型。

在19世纪，几何学迅速发展。一个重大事件是（在19世纪下半叶）发现了非欧几里得几何学，也就是放弃了平行公设的几何学。这也是数学基础危机的起点之一，因为它对上述定理的真实性提出了质疑。这方面的危机是通过公理方法的系统化来解决的，并且采用所选公理的真理性不是一个数学问题。反过来，公理方法允许通过改变公理或考虑在空间的特定变换下不变的属性来研究各种几何。这导致了几何学的许多子领域的诞生，包括：

射影几何，它是在16世纪引入的，通过在无穷远处增加平行线相交的点来扩展欧几里得几何。通过避免对相交和平行线进行不同的处理，这简化了古典几何的许多方面。

仿射几何，研究与平行度相关且独立于长度概念的几何。

微分几何，研究曲线、曲面及其推广，用

函数来定义。

流形，具有欧几里得空间性质的空间，在数学中用于描述几何形体。

黎曼几何，弯曲空间中距离性质的研究。

代数几何，对曲线、曲面及其推广的研究，用多项式来定义。

拓扑学，研究在连续变形下保持不变的特性。

代数拓扑学，在拓扑学中使用的代数方法，主要是同调代数。

离散几何，研究几何中有限构型的学科。

凸几何，对凸集的研究，其重要性在于它在优化中的应用。

复数几何学，用复数代替实数得到的几何学。

代数

代数可以看作是一门运算方程式和公式的艺术。丢番图和花拉米子是代数的两个主要先驱。丢番图通过推导新的关系，求出未知自然数之间的一些关系，直至得到解。花拉米子介绍了方程变换的系统方法（比如将一项从方程的一边移到另一边）。

直到弗朗索瓦·韦达，代数才开始成为一个特定的领域，他引入了字母（变量）来表示未知数字。在19世纪，变量开始表示数字以外的东西（如矩阵、模整数和几何变换），这是算术运算的推广。后面又引入了代数结构的概念，代数结构由一个非空集合、作用于集合元素的运算以及这些运算必须遵循的规则组成。因此，代数的研究本质上变成了代数结构的研究。

一些类型的代数结构具有在许多数学领域中有用的、而且往往是基本的属性。它们的研究如今是代数的自主部分，其中包括：

群理论；

场理论;

向量空间，其研究本质上与线性代数相同；

环论；

交换代数是对交换环的研究，包括对多项式的研究，是代数几何的基本部分；

同调代数；

李代数与李群理论

布尔代数，广泛用于研究计算机的逻辑结构。

微积分和分析

微积分是由牛顿和莱布尼茨在17世纪分别引入的。它研究两个变化量之间的关系，其中一个依赖于另一个。微积分在18世纪被欧拉大力发展，引入了函数等概念。目前，“微积分”主要指该理论的初等部分，“分析”通常用于该理论的高级部分。

分析进一步细分为实分析和复分析。目前有许多分析的子领域，它们包括：

多变量微积分；

泛函分析，变量是函数；

积分理论、测度理论和势能理论，都与概率论密切相关；

常微分方程；

偏微分方程；

数值分析。

离散数学

离散数学是研究离散的而不是连续的数学结构。与实数具有“平滑地”变化的特性相比，离散数学中研究的对象并不以这种方式平滑地变化，而是具有不同的、分开的值。因此，离散数学排除了诸如微积分或欧几里得几何等“连续数学”中的主题。离散对象通常可以用整数枚举。然而，“离散数学”这个术语并没有确切的定义。事实上，描述离散数学的方法，与其说是包含什么，不如说是排除什么：连续变化的量和与之相关的概念。

数学逻辑和集合理论

自19世纪末以来，这些学科都属于数学。在此之前，集合不被认为是数学对象，逻辑虽然用于数学证明，但属于哲学，并不是数学家专门研究的。

在康托尔研究无限集之前，数学家们不愿意考虑无限集合，而认为无限是无穷枚举的结果。康托的工作得罪了许多数学家，不仅因为他考虑了无限集合，而且还因为他的研究表明无限有不同的大小，并且允许无法计算，甚至无法明确描述的数学对象的存在。

在同一时期，在数学的各个领域都出现了这样的情况：以前对基本数学对象的直观定义不足以保证数学的严谨性。这类直观定义的例子有："集合是对象的集合"，"自然数是用来计数的"，"点是一个在各个方向上长度为零的形状"，"曲线是一个移动的点留下的痕迹"，等等。

这是数学危机的起源。粗略地说，每个数学对象都是由所有类似对象的集合和这些对象必须具备的属性来定义的。例如，在皮亚诺算术中，自然数是由 "零是一个数"、"每个数都是唯一的后继者"、"除零以外的每个数都有唯一的后继者 "以及一些推理规则来定义的。以这种方式定义的对象的 "性质 "是数学家留给哲学家的一个哲学问题，即使许多数学家对这种性质有意见，并使用他们的意见（有时称为 "直觉"）来指导他们的研究和寻找证明。

这种方法允许将“逻辑”作为数学对象，并证明关于它们的定理。例如，哥德尔的不完备定理断言，粗略地说，在每一个包含自然数的理论中，有一些定理是正确的（在一个更大的理论中是可证明的），但在理论内部是不可证明的。

这些问题和争论导致了数学逻辑的广泛扩展，包括模型理论（在其他理论中建模一些逻辑理论）、证明理论、类型理论、可计算理论和计算复杂性理论等子领域。数学逻辑的这些方面在计算机出现之前就已经被引入了。

应用数学

应用数学涉及数学方法，通常用于科学，工程，商业和工业。因此，“应用数学”是一门具有专门知识的数学科学。应用数学这个术语也描述了数学家研究实际问题的专业特长。应用数学是一门专注于实际问题的专业，侧重于在科学、工程和其他领域的数学实践中“建立、研究和使用数学模型”。

在过去，实际应用推动了数学理论的发展，这后来成为纯数学的研究主题。因此，应用数学的活动与纯数学的研究是息息相关的。

统计学和其他决策科学

应用数学与统计学有很大的重叠，统计学的理论是用数学表达的，尤其是概率论。统计人员用随机抽样和随机实验“创建有意义的数据”；统计样本或实验的设计规定了数据的分析。

统计理论研究决策问题，如最小化一个统计行动的风险，如在参数估计、假设检验和选择最好的过程中使用一个程序。在数学统计的这些传统领域中，统计决策问题是通过在特定的约束条件下最小化一个目标函数，如预期损失或成本。

计算数学

计算数学提出和研究解决数学问题的方法。数值分析用泛函分析和近似理论研究分析问题的方法。数值分析广泛地包括近似和离散化的研究，特别关注舍入误差。数值分析和更广泛的科学计算也研究数学科学的非解析性主题，特别是算法，矩阵和图理论。计算数学的其他领域包括计算机代数和符号计算。