各位朋友，大家好！数学世界继续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆的计算综合题，涉及垂径定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识。
一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，已知AC是半径为2的⊙O的一条弦，且AC=2√3，点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点，
（1）计算△ABC的面积的最大值；
（2）当点B在优弧AC上，∠BAC＞∠ACB时，若∠ABC的平分线交AC于D，且OD⊥BD，求线段AD的长．
知识回顾
垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
分析：（1）如图1所示，当点B在优弧AC的中点时，AC边上的高最大，△ABC的面积的也最大，连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．根据圆的对称性，得到BH⊥AC，AH=HC，再根据勾股定理求出OH的长，进而求出BH即可解决问题．
（2）如图2所示，延长BD交⊙O于E，连结OE交AC于F，连结OC．通过计算线段长度OF=1，EF=1，证明△ODF是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（以下过程可以部分调整）
（1）如图1，当点B在优弧AC的中点时，AC边上的高最大，此时△ABC的面积的最大，
连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．
∵弧AB=弧BC，BO是半径，
∴BH⊥AC，AH=HC，（根据圆的对称性）
∵AC=2√3，
∴AH=HC=√3，
∵在Rt△AOH中，OH^2=OA^2-AH^2，
∴OH=1，
∴BH=OB+OH=2+1=3，
∴△ABC的最大面积
=1/2×AC×BH
=1/2×2√3×3
=3√3．
（2）如图2，延长BD交⊙O于E，连接OE交AC于F，连接OC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴E为弧AC中点，
∴OE⊥AC，（垂径定理）
∴AF=CF=√3，
∵在Rt△COF中，OF^2=OC^2-CF^2，OC=2，
∴OF=1，EF=1，
∴DF垂直平分OE，
∴OD=DE，
又∵OD⊥BD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴DF=1/2OE=1，
∴AD=AF-DF=√3-1．
（完毕）
这道题属于综合题，考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是会添加常用辅助线，并构造特殊三角形解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。
晚安吾爱～～
用反向思维就可以解出来
tb9438013
E为什么是AC中点以及OE为什么垂直于AC这两点没有说清楚
tb9438013
E为什么是AC的中点？
用户84xxx53 回复 02-27 02:46
弧和弦的定理
tb9438013 回复 用户84xxx53 02-27 23:12
依已知条件这个点并不是必须在中点，只是可以在中点而已
迟到才百年
形成题中情形的特殊因素是O到AC距离为1/2半径，如果解题用不到这个条件，基本上就是错误思路。
用户10xxx16
面积问题归个高，一个圆棚里，呆子都知道顶最高。
横眉冷目
麻烦了，可以直接根据f是oe中点，d是be中点，推出df等于1/2ob，等于1。
铁洛 回复 02-08 04:27
牛逼，为你点赞。
憔悴倦客
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴E为弧AC中点， 文中回顾的垂径定理及其三条推论根本无法退出这个结论，虽然结论正确✔️，但推理运用错误❎
云恋青峰 回复 02-24 01:45
圆周角相等，对应弧相等，所以与垂径相重合了，
迟到才百年 回复 02-27 20:11
[横脸笑]，明明是正解，就是推导不出来，圆心到ac线段距离为二分之一半径用不上。。。。
用户15xxx23
在网上卖弄数学题有何意义？
迟到才百年 回复 02-27 20:15
总不能全是卖弄风骚的罢。。。。[呲牙笑][呲牙笑]
大风云飞扬
太难了
〖憨豆的熊〗
关键是“等弧对等角”，忽略这个就比较难做
迟到才百年 回复 02-27 20:14
等弧对等角是顶点在圆心的角。。。。