这道关于圆和菱形的综合题，添加合适的辅助线构造图形是关键

各位朋友，大家好！数学世界将持续为大家解析初中数学题，希望我的分析与讲解能够对广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆与菱形的知识的几何综合题。

一直以来，数学世界都是精选一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们学习数学的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学题 有关圆与菱形的知识）如图，BD为半圆O的直径，且BD=8，点A为BD延长线上一点，AE与半圆O相切于点E，连接BE，DE，过点B作BC⊥AE交AE的延长线于点C，交半圆于点F．

（1）求证：BE平分∠DBC；

（2）当AD长是多少时，四边形BOEF是菱形.

知识回顾

菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）；③一组邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

分析：（1）因为AE与半圆O相切于点E，所以连接OE是常用的辅助线，再证明OE∥BC，即可推出∠OEB=∠EBC，再证明∠OEB=∠OBE即可得出结论．

（2）首先连接EF，OF，可以推测出当AD=4时，四边形BOEF是菱形，再根据条件想办法证明△ODE，△OBF，△OEF都是等边三角形，即可推出“四边形BOEF是菱形”成立．

我们想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（1）证明：连接OE，如图，

∵AC是⊙O的切线，

∴AC⊥OE，

∵BC⊥AE，

∴OE∥BC，

∴∠OEB=∠EBC，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠EBC=∠OBE，

∴BE平分∠DBC．

（2）解：当AD=4时，四边形BOEF是菱形．

（以下推理过程有多种不同方法，此处仅选择一种示范）

理由：连接EF，OF，如图，

∵BD=8，AD=4，

∴AD=OD=OB=4，

∵∠AEO=90°，

∴DE=1/2AO=4，

∴DE=OE=OD=4，

∴△ODE是等边三角形，

∴∠EOA=60°，

∵OE∥BC，

∴∠OBF=∠AOE=60°，

∵OF=OB，

∴△OBF是等边三角形，

∴BF=OB=OF，∠FOB=60°，

∴∠EOF=60°，

∵OE=OF，

∴△EOF是等边三角形，

∴EF=OE=OB=BF，

∴四边形BOEF是菱形．

（完毕）

这道题属于综合题，考查了切线的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造图形以方便解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。