虽然法院判决不支持由肇事方承担某项赔偿时追偿会面临一定困难，但肇事方仍可以通过提起上诉、寻求其他法律途径、协商与调解等方式来尝试追偿。在追偿过程中，需要尊重法律判决、收集证据并咨询专业律师的意见。以下是冠领律所一些可能的追偿方式及建议：
一、理解法院判决首先，需要仔细研读法院的判决书，了解法院不支持肇事方承担赔偿责任的具体原因。这有助于确定下一步的追偿策略。
二、提起上诉如果认为法院的判决存在错误或不合理之处，且符合上诉条件，肇事方可以在规定的时间内向上级人民法院提起上诉。在上诉过程中，需要充分阐述理由并提供新的证据（如有），以争取上级法院的支持。
三、寻求其他法律途径如果上诉被驳回或不符合上诉条件，肇事方还可以考虑通过其他法律途径来追偿，例如：
申请再审：如果认为法院的判决存在重大错误，且符合再审条件，可以向法院申请再审。申请抗诉：在某些情况下，如果认为法院的判决违反了法律规定或损害了公共利益，可以向人民检察院申请抗诉。四、协商与调解除了法律途径外，肇事方还可以与受害方进行协商或调解，以寻求双方都能接受的解决方案。在协商过程中，肇事方可以表达自己的意愿和诉求，并尝试与受害方达成和解协议。
五、注意事项尊重法律判决：无论对判决结果是否满意，都应尊重法院的判决，并遵守相关法律程序。收集证据：在追偿过程中，需要充分收集并保留相关证据，以支持自己的诉求。咨询专业律师：由于法律程序复杂且涉及专业知识，建议肇事方在追偿过程中咨询专业律师的意见和指导。