各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆的综合题，涉及等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识。
一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，求证：PE=PF．
知识回顾
平行四边形的判定和性质
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； ③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分.
判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
分析：（1）首先利用解直角三角形（或含30度角的直角三角形的性质）求出AB的长，再证明△OCB是等边三角形，然后根据条件得出∠AFB=90°，再推出AE=EB，利用直角三角形斜边中线的性质即可求线段EF的长．
（2）此处需要注意，第一小题中的条件∠BAC=30°在这里是不能用的。我们只能有效利用两个中点E和F，通过比例式推出平行线段相等。过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH，想办法证明四边形OEHF是平行四边形，根据对角线互相平分即可得结论．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（1）解：∵OE⊥AB于点E，∠BAC=30°，OA=1，
∴OE=1/2OA=1/2，
（利用解直角三角形或者含30度角的直角三角形的性质）
AE=EB=√3/2，
∴AB=AE+EB=√3，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∵点F是半径OC的中点，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵AE=EB，
∴EF=1/2AB=√3/2.
（2）证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．
∵∠FGA=∠ABC=90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴FH/BC=OF/OC=1/2，
同理OE/BC=1/2，
∴FH/BC=OE/BC，
∴FH=OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF是平行四边形，
∴PE=PF．（对角线互相平分）
（完毕）
这道题属于综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造特殊四边形解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。
UC网友18xxxx8308
为什么要作辅助线呢？好繁索！用等腰三角形和勾股定理比较容易吧？
晓静 回复 02-07 20:16
那是第一问的条件，不能用到第二问
迷失小母鸡 回复 01-25 18:31
OE⊥AB，AE=BE，，∠A＝30°，S△ABC=AC×BF=AB×BC，得出BE=BF，BF⊥AC，∠C=60°，可得剩下的∠B被三等分=30°，两两相加=60°，两边相等，其中一∠＝60°，BFF为正△，算BF就行了，可以顺便把第二求证的简化
萧十二
取OB中点G，连接EG ∵OA=OB=OC，OF=OG，OE⊥AB ∴EG∥AC，
龙卷风8号
关键条件30度的角可以解决所有问题，没必要作辅助线。
匿名用户本村首席搬砖工
你们都不知道BEF是等边三角形吗？搞那么复杂。。。
坚持
为什么说因为ac是直径，角abc就是90度？
我为1234567890 回复 12-17 12:26
因为过直径，与该圆上任意一点组成的三角形均为直角三角形，直径为斜边
云恋青峰 回复 12-06 16:50
或者说直径所对圆周角是直角，直径的圆心角是180度，圆周角是圆心角的一半也就是90度
用户10xxx16
为对称寻证，F为垂足不难，两个等边三角寻证也不难，P为垂足寻证不难，得解。
枝上残雪枕间余香
直接设H为OB中点，连接FH 证明: ∵OE⊥AB,OA＝OB ∴E为AB中点 ∴在△ABC中，OE平行且等于½BC 同理在△OAB中,FH平行且等于½BC ∴OE平行且等于FH ∴△OEP≌△HFP ∴PF＝PE
知足者常乐
怎么我用全等和三线合一就OK了，一条辅助线都没做
用户13xxx12
一条副辅助线都不用的呀
用户10xxx16
关健是疑似对称美，并确认。
爱情占卜
（二），OE＝OF＝1／2，角BOE＝BOF＝60度，所以直接PE＝PF
爱情占卜 回复 12-28 12:08
这你也看不懂就无语了！
海老人 回复 12-27 22:43
60度哪来的？问题1的条件不能带到问题2。
用户79xxx03
第2问取OB中点利用中位线定理判定出平四可能更快些吧
希望
完全没必要做辅助线。
不曾想过
只需要证明三角形OEF为等腰三角形 OP平分角EOF就能得出P点为FE的中点 这不就出来了不需要辅助线[呲牙笑]
迷失小母鸡 回复 01-25 18:43
不好意思，我眼瞎了，OE=OF很好求，剩下的分分钟就出来了，忘了利用∠A=30°这些特殊角了
晓静 回复 02-07 20:18
第一问的条件不是在题干中，不能用到第二问
桀＊少
有没有1的条件 . OCB都是等边三角形吧那样 OB不就是角平分线了吗 PE PF肯定相等 EF就等于 二分之根三倍的边长啊
海老人 回复 12-27 22:49
怎么证明ocb是等边三角形？
云恋青峰 回复 01-16 23:24
那如果点B向东C移动一点点距离呢？∠ACB还是60°吗？大的条件没有说∠C是60°，也没有说∠A是30°
樱花雨
OE=1/2*BC=R/2=OF 易得BF垂直于AC 故三角形BEO全等于三角形BFO OE=OF，BE=BF 故BO是EF的垂直平分线，PE=PF
海老人 回复 12-27 22:51
bc＝r哪来的？
云恋青峰 回复 01-16 23:20
每一个小问题的假设条件不能成为另外一个小问题条件的
Vactor.
1.已知角acb=60度 三角形obc等边且F为中点故角fbe=60度 由上述及勾股可知be=bf=ef=二分之根号3 2.三角形bef等边，角obe=角bac=30度，故pe=pf 顺带一提真怀念初中[笑着哭]
神经蛙 回复 02-02 11:55
你这不行，你这思路是建立在1的条件下，问题2没说是建立在1条件下的
霸气男爵
面积等于了自己，自己等于面积，面积等于，知识，知识等于面积，数字，