此题属于中考常见题型，求圆中线段的长，利用参数构建方程是关键

各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆和相似三角形的综合题，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识。

一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学综合题）如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且AB=AM．

（1）求证：△ABM∽△ECA．

（2）当CM=4OM时，求BM的长.

知识回顾

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。

分析：（1）由AE∥BD，可得∠AMB=∠CAE，又圆周角∠ABD=∠ACD，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证．

（2）根据AB=AM可以得出EA=EC，DM=DC，在根据AE∥BD，利用平行线分线段成比例定理以及勾股定理求出DM和DC，再利用相似三角形的性质即可求出BM的长．

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（以下过程可以部分调整）

证明：（1）∵AE∥BD，

∴∠AMB=∠CAE，

又∵∠ABD=∠ACD，（圆周角）

∴△ABM∽△ECA.

（2）解：∵AB=AM，

∴∠AMB=∠ABD，

∠CAE=∠ACE，

∴AE=CE，

∵CM=4OM，设OM=k，则CM=4k，

∴OA=OC=5k=5，

∴k=1，

∴CM=4，AM=6，CA=10，

∵DM∥AE，

∴DM：AE=CM：CA=4：10，

设DM=4a，则EA=EC=10a，

∵AB=AM，

∴∠ABM=∠AMB，

∵∠AMB=∠DMC，∠ABM=∠C，

∴∠DMC=∠C，

∴DM=DC=4a，

∴DE=EC-DC=6a，

∵AC是直径，

∴∠ADE=∠ADC=90°，

∴AD^2=AE^2?DE^2，

∴AD=8m，

∵AD^2+CD^2=AC^2，

∴（8m）^2+（4m）^2=10^2

∵a＞0，

∴a=√5/2，

∴DM=2√5，

∵△AMB∽△DMC，

∴BM/CM=AM/DM，

∴BM/4=6/（2√5），

∴BM=12√5/5.

（完毕）

这道题属于综合题，考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是巧妙利用参数构建方程解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。