这些问题都是数学奥林匹克级别的难题，解决它们需要深厚的数学基础和创造性的思考。下面是对每个问题的解题思路的概述：
这些问题的解决需要详细的数学推导和证明，通常在数学竞赛中，解决这些问题的选手需要有扎实的数学基础和良好的解题技巧。
问题 1：数列的周期性难度：高
模块：代数
这个问题涉及到数列的递推关系和周期性，需要对数列的动态行为有深入的理解。证明数列的最终周期性是一个挑战，因为它要求对数列的长期行为进行分析。此外，证明最小正周期与初始项无关且为奇数，需要对数列的递推公式有深刻的洞察。问题 2：几何中的共点问题难度：极高
模块：几何
这个问题涉及到三角形的内心、外心、中点、内切圆等概念，以及圆的交点和共点问题。解决这个问题需要对几何性质有深刻的理解，并且能够巧妙地运用几何定理和性质。这个问题的难度在于需要构造和识别几何图形中的复杂关系。问题 3：组合数学中的极小集合问题难度：极高
模块：组合
这个问题涉及到组合数学中的极小集合概念，需要对集合的性质和函数的最小值有深入的理解。证明给定条件下的不等式需要创造性地使用组合方法和优化技巧。这个问题的难度在于需要对集合的元素进行精细的分析，以找到满足条件的极小集合。