1999年高考数学是继1984年高考数学后又一次让考生哭着离开考场的考试。不少考生考完后直言题目太变态，甚至不少考生表示最后几道大题连题目都看不懂，那年的数学考试成了心中永远的痛。
本文就和大家分享一道1999年高考中被评为“地狱难度”、能看懂题目就是学霸的真题。
题目如上图，本题为全卷第23题，也是倒数第二题，满分14分。
要求解本题，首先需要弄明白函数y=f(x)是怎样的函数。由题意可知，y=f(x)实际上是一个分段函数，每段均为一次函数，但分段的依据不是常见的自变量而是以函数值进行分段。比如当0≤y≤1时，第一段函数图像的斜率为b^0=1，而当1≤y≤2时，第二段函数图像的斜率为b^1=b，以此类推。
其次，需要弄清楚数列{xn}的定义，简单来说就是当函数值为自然数时自变量的值。
弄清楚上面两个问题后，我们再来看题目第一问，要求x1、x2、xn，那么就需要将各自的函数值及所在直线的斜率联系起来。
比如求xn，需要找到其所对应直线的斜率，此时对应的是第n条线段，而第n条线段的斜率就为b^(n-1)。所以可以得到关系式：
[f(xn)-f(x(n-1))]/[xn-x(n-1)]=b^(n-1)。
这样处理后就可以找到xn-x(n-1)的关系，再用累加法求解就可以求出xn。
接下来看第二问。
第一条线段也就是0≤y≤1时，f(x)=x。第二条线段，即n=1，1≤y≤2时，此时f(x)就可以用第一段函数的最大值1再加上b(x-x1)得到，即f(x)=1+b(x-x1)。
同理，当n≤y≤n+1即xn≤x≤x(n+1)时，f(x)也可以用前一段函数的最大值n再加上(x-xn)b^n，这样就可以求出f(x)的解析式。
求定义域就比较简单了，只要对xn进行讨论即可。
最后再看第三问，要证明这个结论，可以用作差法，即证明f(x)-x=0在x＞1上无解，或者证明f(x)＞x或f(x)＜x恒成立。在证明过程中需要对b分两类讨论，证明的方法有两种：数学归纳法和作差直接证明。
方法一：数学归纳法
数学归纳法证明首先要证明当n=1时，也就是1＜x≤x2时，结论成立。然后假设当n=k时结论也成立，得出一个关系式，再利用这个关系式证明当n=k+1时结论也成立，这样就可以证明所需的结论。
方法二：直接证明
直接判断f(x)-x的符号比较难，可以考虑用放缩法。先计算f(x)-f(xn)的正负，从而将f(x)-x的符号转化为f(xn)-xn的符号。明显地，f(xn)-xn的符号更加容易判断。
本题综合考查了函数、等比数列、极限、归纳推理等知识，难度确实很大。如果是你，你会做吗？
