大家好！本文和大家分享一道2006年湖北高考数学真题。这道题综合考查了二次函数的图像与性质、基本初等函数的求导、递推法求数列通项公式、裂项相消求数列的前n项和以及求参数的取值范围等知识。这道题看起来难度挺大，但是掌握方法后其实并不难。
先看第一小问：求通项公式。
显然，本题考查的是递推法求数列的通项公式，所以首先要找到递推关系。
要找递推关系，就要先求出二次函数f(x)的解析式。由于二次函数f(x)的图像过原点，所以f(x)的解析式中的常数项为0；又因为f'(x)=6x-2，所以可以得到f(x)的解析式为f(x)=3x^2-2x。
根据题意，就可以得到：Sn=3n^2-2n①。也就是说这个递推关系是Sn关于n的一个关系式，而此类递推关系求通项公式的方法很简单，就是利用an=Sn-S(n-1)求解。即由①可得：S(n+1)=3(n+1)^2-2(n+1)②，②-①即可得到a(n+1)的表达式，从而进一步求出an的通项公式。
上图解题过程是先求出a(n+1)再求an，为什么要这样做呢？因为如果直接求an，很多同学会忘了验证当n=1时是否满足求出的通项。
如果直接求an，那么就要用到an=Sn-S(n-1)的关系，此时就有一个限制条件，即n≥2，所以需要验证n=1的情况。
另外，由于数列{an}的前n项和是一个关于n且不含常数项的二次函数，那么该数列一定是等差数列，由此可以快速判断结果是否正确。
再看第二小问：求参数的最值。
由第一小问可知：an=6n-5，所以bn=3/[(6n-5)(6n+1)]。
很明显，要求bn的前n项和就要用到裂项相消法，所以需要先将bn的通项公式进行变形，即bn=[1/(6n-5)-1/(6n+1)]/2，从而可以求出Tn=[1-1/(6n+1)]/2。
Tn＜m/20，即[1-1/(6n+1)]/2＜m/20。显然，在n为正整数的范围内，[1-1/(6n+1)]/2是小于二分之一的，所以m/20≥1/2，解得m≥10，即m的最小值为10。
当然，不少同学计算到Tn=[1-1/(6n+1)]/2时会继续进行化简，最终得到Tn=3n/(6n+1)。接着，由Tn＜m/20可以得到：m＞60n/(6n+1)。一些同学做到这步就不知道怎么做了，其实只需要分离常数，即m＞10-10/(6n+1)。
由于10-10/(6n+1)肯定大于10，所以m≥10，即可求出m的最小值。
这道高考真题看起来比较难度很大，但是掌握方法后其实并不难。你觉得呢？
