20世纪60年代初，计算机还处于早期发展阶段，世界上只有很少的几台，主要放在几个重要的大学内。作为英国剑桥大学的教师，英国数学家伯奇和斯温纳顿一戴尔（Peter Swinnerto有机会使用当时最强大的计算机之一"剑桥电子延迟存储自动计算机"。他们打算用这台计算机来收集关于某类多项式方程的可能解的数据。通过获得的数据，他们提出了一个大胆而有力的猜想。如果这个猜想是正确的，那么将大大加深我们对整数的理解。

伯奇和斯温纳顿一戴尔猜想涉及的数学对象称作椭圆曲线。

自20世纪50年代初以来，数学家已经很清楚，椭圆曲线是重要的基础性数学对象，它们与数学的许多领域，包括数论、几何学、密码学以及关于数据传输的数学都有联系。例如，我们知道怀尔斯于1994年证明了费马大定理，但他的证明是通过证明一个关于椭圆曲线的结果，

准确地说，怀尔斯通过确立椭圆曲线与模形式理论（数学的另一重要分支）之间的一种紧密联系，从而证明了费马大定理。

虽然这个猜想本身被深埋在非常高级的数学之中，但我们可以从一些非常低等的起点向它逼进。

有一个可以回溯到古希腊的经典问题∶给定一个正整数d，是不是存在一个边长是有理数而面积正好是d的直角三角形？例如，在d=6的情况下，边长为3、4和5的直角三角形面积为，

在d=5的情况下，不存在边长为整数而面积为5的直角三角形。但边长为：

的直角三角形，其面积为5。

用一段非常直接的代数推理就可证明，存在一个边长为有理数而面积为d的直角三角形的充要条件是，方程

对x和y有y≠0的有理数解。一般形式为

（其中a和b是整数）的方程确定了所谓的椭圆曲线，即这样一个方程的图像是一条椭圆曲线。

有一个很自然的问题∶这里为什么没有包含x^2的项?为什么我们不考虑形如

的方程？答案是，只要用一点非常简单的代数运算，就能把这样一个方程转换成其中没有x^2项的方程。于是，研究椭圆曲线，你只要考察那些形如y^2 =x^3＋ax＋b的方程即可。

有些椭圆曲线可能有点奇怪。如果你试着画出方程

的图像，那么，每当x^3＋ax＋b为负，就不能得到y的值。结果是，椭圆曲线常常被分为两个独立的部分，如下图

虽然它分成了两个独立的部分，但它仍然是一条由一个方程所确定的曲线。

下图是只有一个部分的椭圆曲线，

一条椭圆曲线是一个部分还是两个部分，取决于方程右边的三次表达式有一个实根还是三个实根。

三角形面积方程

的情况怎样呢？我们已经指出，当且仅当d是一个边长为有理数的直角三角形的面积时，这个方程对x和y有有理数解。这个方程的判别式

它不等于零，所以这个方程的图像是一条椭圆曲线（在判别式中令a=-d²和b =0）。于是，古希腊的经典问题，就等价于在某种椭圆曲线上寻找有理点（即坐标是有理数的点）的问题。这就是伯奇和斯温纳顿-戴尔打算研究的问题。他们的思路是∶设法找出某种对椭圆曲线上有理点的个数进行“计数”的方法。因为他们面对的可能是无穷集，所以对“计数”这个词必须作某种比喻性的理解。

对一个可能是无穷的集合进行计数的方法是，进行一系列有限的次级计数。这就是伯奇和斯温纳顿一戴尔采用的方法。要描述他们的方法，我们不得不谈谈有限算术。

对于任意正整数N，我们可以进行以N为模的计数。我们进行这个计数所使用的数是0，1，2，…，N-1。在N-1之后，我们重新从0开始。

于是我们可以做以N为模的算术。为了说明怎样做这种算术，我们以N=7的情况为例。对于这个模，计数数是0，1，2，3，4，5，6。当我们把这一范围内的任意两个数相加时，凡达到7，就再减7。例如，在以7为模的算术中，

数学家不这样写。他们以如下方式表示上面的加法∶

他们把这样的表达式称为同余式。以7为模的乘法有类似的定义∶以通常的方式把两个数相乘，然后减去7的倍数。例如，

对于其他任何的模，情况类似。

既然减法是加法的逆运算，那么你总可以在有限算术中做减法。例如，

对任何的模，同样都可以做减法。对于除法来说怎么样？在以7为模的情况中，也总可以做除法。例如，

事实上，凡模是素数，除法即可行。但是对于一个合数模，一个数除以另一个数在有限算术中并不总是可行的。因此，模算术就像常规的算术一样。如果模是素数，那么相应的模算术甚至有另外的性质，即你可以让任意一个数除以另一个数（并得到一个整数答数）。

已证实模算术在许多情况中很有用。其中之一是为伯奇和斯温纳顿一戴尔对椭圆曲线上的有理点进行计数提供了一种方法。

为了对椭圆曲线上的有理点计数，伯奇和斯温纳顿一戴尔决定对各种不同的素数p进行以p为模的类似计数。这就是说，他们不是试图对方程

的可能有无穷个的有理数解进行计数，而是取不同的素数p，对满足同余方程

的以p为模的整数对（x，y）的个数进行计数。对任何给定的素数p，这种计数是有限的。设N_p是以p为模的解的个数，即N。是满足同余方程

的以p为模的整数对（x，y）的个数。

例如，假设我们取椭圆曲线y^2=x^3-x和素数p=5。然后，用所有可能的整数对（x，y）（其中x=0，1，2，3，4和y=0，1，2，3，4）代入同余方程

进行验算，我们发现这个同余方程的解就是（0，0），（1，0），（4，0），（2，1），（3，2），（3，3），（2，4），一共7个。因此对于这个同余方程，N_s=7。

我们考察的是计数问题的以p为模的有限性版本，隐藏在这种做法背后的思想是这样的∶如果（u，v）是方程

的一个整数解，那么（u mod p，v mod p）就是同余方程

的一个解，其中u mod p是u 除以p的余数。更一般地，因为以素数为模的除法总会得出一个整数答数，所以原方程的任何一个有理数解就导致了相应同余方程的一个整数解。于是，如果在原来的椭回曲线上有一个有理点，那么对于每个素数Ｐ，相应的以Ｐ为模的同余方程就有一个解。

如果这条椭圆曲线上其实有无穷多个有理点，那么我们可以料想，对于许多的素数Ｐ，这个同余方程会有许多的解。

这个结果具有重要意义，因为我们即将看到，在椭圆曲线是来自那个三角形面积问题的情况中，如果在这条曲线上有一个有理点，那么必定有无穷多个有理点。

没有任何明显的理由能够说明为什么下面这种反过来的情况会成立：如果对于大量的素数Ｐ，以Ｐ为模的同余方程有许多解，那么原方程就肯定有一个有理数解。这看上去似乎可能正确，至少伯奇和斯温纳顿一戴尔认为如此。更准确地说，他们把他们的猜想建立在这样一个假设上：如果对于大量的素数，同余方程存着大量的解，那么原方程确实有无穷多个有理数解。

接下来的问题是，你怎样才能知道是不是有大量的这种同余式有着大量的解？

为了判定是不是有大量的以p为模的同余方程有着大量的解，伯奇和斯温纳顿一戴尔对一系列不断增大的M值计算了“密度函数”

下一步是仔细观察他们得到的数据，主要是上式的值如何变化（的图像）。首先要考察的公式显然是遍取所有素数的无穷乘积

如果能保证这个无穷乘积会给出一个有限的答数，那么伯奇和斯温纳顿一戴尔对一系列不断增大的M值计算出来的值，会形成一个不断逼近这个无穷乘积的序列，他们就可以利用这个无穷乘积去分析他们用计算机算出的数据。

如果原来的椭圆曲线有无穷多个有理点，那么应该对于许多的素数p，以p为模的同余方程有大量的解，这意味着对于无穷多个素数，比值p/（N_p）应该（大大）小于1，因此这个无穷乘积算出来应该是0。伯奇和斯温纳顿-戴尔所作的猜想是，这段论述倒过来也成立∶如果我们计算

并发现它是0，那么这条椭圆曲线上有无穷多个有理点。换言之，或许这条椭圆曲线有无穷多个有理点的充要条件是

但是你如何算出这个无穷乘积呢？欧拉证明对于任意的实数s>1，无穷乘积

等于无穷和

黎曼随后证明zeta（s）可以被解析延拓成对任何一个不等于1的复数s都能给出一个答数，而且这个被延拓的函数可以用微积分方法来研究。狄利克雷证明对于一类被称为L函数的更为一般的"g函数"，类似的过程同样可行。

假设能对欧拉式无穷乘积

做类似的事情。也就是说，假设你能证明存在一种函数L（E，s），它对任何一个复数s都能给出一个答数，并且可以用微积分来研究，使得

那么，通过计算L（E，1），你就可以得到关于椭圆曲线上有理点的个数的某些信息。伯奇和斯温纳顿-戴尔说，你可能会得到你想要的任何东西。基于他们运行计算机所得的数据，他们提出椭圆曲线有无穷多个有理点的充要条件是L（E，1）=0。

从本质上讲，这就是伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。但是请注意修饰语“从本质上讲”。如果你打算准确地按照我的描述去做，那将不会有结果。你必须取一个稍微比

复杂一点的乘积，才有希望完成狄利克雷式的论证而得到一个"L函数”。接下来的问题是，是不是真的存在一个合适的L函数（它对所有的复数s都给出一个答数）。

其实这是谷山-志村猜想的一种特殊情况，但这个猜想到1994年才被解决。当时怀尔斯和泰勒在解决费马大定理的过程中证明了这个猜想。在1994年之前，连伯奇和斯温纳顿一戴尔猜想是不是有意义都不能肯定。当时没有人知道是否存在这样一个函数，它对所有的数s，特别是对关键值s =1，都给出一个答数。既然我们现在知道确实存在这样的一个函数，那么首要的问题就成了伯奇和斯温纳顿-戴尔围绕着它作出的猜想（E上有无穷多个有理点的充要条件是L（E，1）=0）是否正确了。

1901年庞加莱观察到∶对于每条椭圆曲线，都有一个特定的群与之相联系。

组成这个群的对象是椭圆曲线上的坐标为有理数的点。数学家通常使用符号Q来代表有理数集。于是，这个群由曲线上的这些点（x，y）所组成，其中x和y都在集合Q中。数学家以下面这个更为正规的方式来表述这一点∶给定一条椭圆曲线E，令E（Q）是E上所有有理点的集合。事实上，这并不十分准确。由于技术上的原因，你必须在集合E（Q）中再放进一个点，即理想化的“无穷远点”，它位于所有的竖直线上。

把E（Q）作为群，

关于一条椭圆曲线的群的加法。给定E（Q）中的点P和Q，过P和Q画一条直线。它与这曲线至多相交于另一个点。如果这条直线不再与这曲线相交，我们就说这条弦与曲线相交于无穷远点。有了这个规定，对于给定的任意两点P和Q，弦PQ的延长线必定与这曲线相交于另一个点。这第三个点被取为-（P＋Q）。确切地说，P＋Q这个群加法的和，是这曲线上关于x轴与这第三个点成反射对称的点（ ∞的反射对称点还是∞）。

有了上图中所定义的加法，E（Q）成为一个群。事实上，它是一个交换群（或称阿贝尔群）。1922年，英国数学家莫德尔证明群E（Q）是有限生成的。也就是说，即使E（Q）中有无穷多个元素，其中也会有有限个点，使得E（Q）中的每一个元素都能从这有限个点出发通过有限步加法而得到。

对任何一个群，如果我们从一个点A开始，生成一个点序列A，A＋A，A＋A＋A，…，则下列两件事必有一件会发生∶要么这个点序列最终发生循环，要么它将永远继续下去。在前一种情况中，这个点序列产生了这个群的一个有限子群；在后一种情况中，它产生了整数集的一个副本。在群E（Q）的情况中，由于它是有限生成的，如果我们考察对每一个生成元进行上述重复运算将发生什么，我们会看到这个群分成有限个子群和有限个Z 的副本。

用更正规的数学语言，即

其中Z 是在加法下的（无穷）整数群，r是某个非负整数，E（Q）_f是一个有限群（E（Q）的全体有限阶元素所组成的子群）。数r称作曲线E的秩。我们将看到，数r提供了一种度量这曲线上的有理点集（可能是无穷集）的大小的方式；r越大，我们期望看到的有理点就越多。因此，椭圆曲线的秩是一个重要的参数。然而，秩仍然是个谜。甚至秩如何计算或秩是不是可以任意大这种基本的问题还没有解决。

20世纪30年代，纳格尔和卢茨各自独立地证明了如果E（Q）中有一点（x，y），它的阶有限（即它是E（Q），的一个元素），则x和y必定都是整数，而且要么y=0，要么y^2整除方程E的判别式△。

我们已经看到，存在一个边长为有理数而面积为d的直角三角形的充要条件是椭圆曲线

有一个y≠0 的有理点。但是y≠0的有理点正是阶为无穷大的点。因此，存在一个边长为有理数而面积为d的直角三角形的充要条件是椭圆曲线有无穷多个有理点。（它的一个令人吃惊的结果是，如果存在一个边长为有理数而面积为d的直角三角形，那么就存在无穷多个这样的三角形。）

于是，正如我们先前看到的，那个关于直角三角形的原始问题可以通过对某些椭圆曲线上有理点的个数进行“计数”来解决。你会想起，这里的思路是对以素数p为模的解的个数进行计数。

对于任意素数p，设N_p是满足

的以p为模的整数对（x，y）的个数加上1。（注意这比我们先前引进的N_p要大1。加上这个1是因为要把∞点算进来。）数学家意识到这个新的N_p就是群E（Z/pZ）的阶。

在先前那个椭圆曲线y^2=x^3-x而素数p=5的例子中，我们发现有7个解，即（0，0），（1，0），（4，0），（2，1），（3，2），（3，3），（2，4），因此对这个方程，N_5=7＋1=8。

如果一条椭圆曲线y^2 = x^3＋ax ＋b有无穷多个有理点，那么对于不同的素数p，平均地说，同余方程

往往应该有许多的解。

这里的思路是通过计算某种形式的密度函数来测试这一点。哈塞和威尔早先的工作导出了下面这个函数，它是伯奇和斯温纳顿一戴尔所需要的∶

这通常被称作哈塞-威尔L函数。请注意，只要在上式中代入s=1，并化简这个代数过程，你就会得到无穷乘积

让我试着说明一下为什么哈塞-威尔公式能符合伯奇和斯温纳顿一戴尔的要求。哈塞已证明，一般来说N_p这个数大致与p＋1相等，其偏差至多在2√p这个值左右。

换另一种方式表述，如果我们令a_p是N_p与p＋1的“偏差”量

那么|a_p|<2√p。用上面这些a_p项，哈塞-威尔L函数可以写成

哈塞不等式|a_p|<2√p于是就意味着只要s的实部大于3/2，L（E，s）就能给出一个答数。

哈塞猜想，就像黎曼zeta函数那样，L（E，s）也可以被解析延拓成对任意一个复数s都给出一个答数的函数，而且对这个函数可以应用微积分方法。这个大胆的猜想是谷山一志村猜想的一个推论。怀尔斯和泰勒在证明费马大定理的过程中解决了谷山-志村猜想的一种特殊情况，此后，到1999年，谷山-志村猜想最终得到解决。

伯奇和斯温纳顿一戴尔猜想是∶E（Q）是无穷集的充要条件是L（E，1）=0。

事实上，这并不是伯奇和斯温纳顿一戴尔最初提出他们这个猜想时的准确形式。他们作出的陈述在某种程度上比这更强。他们说，假设哈塞的猜想被证明是正确的，于是L（E，s）可以被解析延拓成对任意一个复数s都给出一个答数的函数，而且对这个函数可以应用微积分方法。这就特别意味着，L（E，s）可以用泰勒多项式来表示。例如，在点s=1附近，L（E，s）的值可以用一个如下形式的无穷多项式给出∶

利用这个多项式，如上陈述的猜想可以这样重新表述∶E（Q）是无穷集的充要条件是c_o=0。伯奇和斯温纳顿一戴尔作出了下面这个更强的断言∶E（Q）是无穷集的充要条件是c_r≠0，但是对n=0，…，r-1，每个系数c_n都为零，这里r是E的秩。换言之，E（Q）是无穷集的充要条件是L（E，s）在s =1处的泰勒多项式具有如下形式∶

其中c不等于0，r是E的秩。从直观上看，对泰勒多项式开头若干个零项的个数进行计数，提供了对这个函数在有关点为零的程*的一种度量。因此，根据伯奇和斯温纳顿-戴尔的猜想，E的秩给出了L（E，1）为零的程度的一种准确度量。

现在你知道了吧？