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​这是深圳市2023-2024学年初三中考适应性考试填空题第15题、即填空压轴题：

如图一，

图一

在四边形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE=3DE，则BD=？

主要考查的知识点有：①射影定理②三角形相似③在直角三角形中，斜边中线为斜边的一半④勾股定理等。

此题得分率偏低，其原因不外乎：①解题耗时过长：分值3分、平均耗时大概率不低于10分钟；②解题难度、复杂度、工作量均不亚于综合性计算题。③填空题：零和游戏，无步骤分！

解析：

①△ABC为等边三角形。

②记AC的中点为F，连接DF和BF，如图二

图二

③显然，BF垂直AC，BF=3√3，DF=3。

④过点D作AC的垂线DH，如图三

图三

⑤易知，△BEF∽△DEH。故DH/BF=EH/EF=DE/BE=1/3，从而DH=√3。

⑥考虑直角三角形ACD，由射影定理可得，DH²=AH×CH=(6-CH)×CH，也即有CH=3-√6，FH=√6。再由EH/EF=1/3可得EH=√6/4。

⑦考虑直角△DEH，由勾股定理可知，DE²=EH²+DH²=54/16，即DE=3√6/4。因此BD=3√6。

OE/BF=DE/BD=√6/2√5=√30/10。

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