平面几何中的动点问题研究

林庄园

(桂林市桂林中学,广西壮族自治区桂林 541001)

摘要：动点问题是初中平面几何中的常见问题,也是历年中考的热点问题,倍受命题者青睐.这类问题涉及的知识点多,形式丰富多样,求解方法灵活,对学生而言具有一定的难度.基于此,文章介绍与矩形、菱形有关的动点问题,以及与动点有关的三角形的存在性问题,并给出这几类动点问题的解题思路.,以期为初中数学教学提供参考.

关键词：平面几何;动点问题;最值问题;存在性问题

与动点有关的最值问题和存在性问题是平面几何中的难点.根据图形结构特征,抓住动点在运动过程中的不变量以及动点的运动轨迹,再合理利用几何性质,是解决这类问题的基本思路.

1 点在矩形的一边上运动

例1 如图1所示,矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E在边AD上,且AE=2,F为边AB上的一个动点,连接EF,过点E作EG⊥EF交直线BC于点G,连接FG,若P是FG的中点,则DP的最小值为( ).

图1 例1图

解析因为四边形ABCD是矩形,所以∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,且DC=AB=6,AD=BC=10.

当点F与点A重合时,作EG1⊥BC于G1,则四边形ABG1E是矩形.如图2所示,连接AG1,BE交于点O,则O点是AG1的中点,也是BE的中点,此时,P点与O点重合.当F点与B点重合时,作EG2⊥EB交BC的延长线于G2.因为AD∥BC,所以∠AEB=∠EBG2.又因为∠BAE=∠BEG2=90°,所以△ABE∽△EG2B,所以

因为

所以

解得BG2=20.设BG2的中点为P2,则BP2=10,所以P2点与C点重合,所以P点的运动轨迹是线段OC.当DP⊥OC时,DP的值最小.因为O点是BE的中点,C点是BG2的中点,所以OC是△BEG2的中位线,所以OC∥EG2,所以∠BOC=∠BEG2=90°,所以∠BOC=∠DPC.因为∠OBC+∠OCB=90°,∠OCB+∠PCD=90°,所以∠OBC=∠PCD,所以△OBC∽△PCD,所以

因为

所以

解得

故选A.

图2 例1解法示意图

点评本题是一道矩形中的动点问题,难度较大,综合性较强.解题的关键是要找出P点的运动轨迹.作EG1⊥BC于G1,连接AG1,BE交于点O,作EG2⊥EB交BC的延长线于G2.当F点与A点重合时,G点与G1点重合,此时P点与O点重合.当F点与B点重合时,G点与G2点重合,此时P点与C点重合,因此P点的运动轨迹就是线段OC.当DP⊥OC时,DP的值最小.根据△OBC∽△PCD,列比例式求出DP的长即可.

2 菱形上的动点

例2 如图3,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,点N是菱形内一动点,且MN=1,连接CN,则CN的最小值为____．

图3 例2图

图4 例2解法示意图

解析过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H,如图4所示.因为四边形ABCD是菱形,∠A=60°,所以AB∥CD,所以∠HDM=∠A=60°,所以∠HMD=30°.因为点M是AD边的中点,所以

所以

根据勾股定理得

因为CD=4,所以CH=CD+DH=4+1=5.根据勾股定理,得

因为MN=1,当点N运动到线段CM上的点N′时,CN取得最小值,

即CN的最小值为

点评本题主要考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短等知识,解题的关键是求出CM的长．过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H,根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出

当点N运动到线段CM上的点N′时,CN取得最小值,进一步求解即可．

3 点在曲线上运动

例3 如图5所示,A是函数

的图象上的点,B(2,2),C(-2,-2),试利用性质:“函数

的图象上任意一点A都满足|AB-AC|=4”求解下面问题:作∠BAC的内角平分线AE,过C作AE的垂线交AE于点F,已知当点A在函数

的图象上运动时,点F总在一个圆上运动,则这圆的半径为( ).

图5 例3图

图6 例3解法示意图

解析如图6所示,作BD⊥AE,垂足为M,交AC于点D．因为AE平分∠BAC,BD⊥AE,所以∠DAM=∠BAM,∠AMD=∠AMB=90°.因为AM=AM,所以△ABM≌△ADM,所以AD=AB,所以CD=AC-AD=AC-AB=4,即CD的长为定值4．过点M作MN∥CD交CF于点N,因为BD⊥AE,CF⊥AE,所以DM∥CF,所以四边形CDMN为平行四边形,所以MN=CD=4．因为∠MFN=90°,所以点F在以线段MN为直径的圆上,因为MN=4,所以点F运动所在圆的半径为2．选C.

点评本题是一道新定义问题,主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆周角定理等知识.根据新定义添加辅助线,构造全等三角形和平行四边形是解题关键．

4 存在性问题

例4 如图7所示,等边△ABC的顶点A,B,C均在坐标轴上,其中B(-4,0),C(4,0)．