今年早些时候，三位数学家（Levent Alpöge、Ari Shnidman、Manjul Bhargava）在数学家们思考了几个世纪的问题上取得了重大进展。他们研究的是数论中最古老的一个问题：有多少个整数可以写成两个有理数（分数）的三次方之和。例如，数字6可以写成

而

几十年来，数学家们一直怀疑有一半的整数可以写成这种形式。就像奇数和偶数一样，这个性质似乎把整数分为两个相等的阵营：一个阵营中的数都是两个有理数的立方和，另一个不是。

但没有人能证明这一点，甚至没有人能给出属于这两个阵营的整数的比例的界限。就数学家所知，由有理数立方和组成的阵营可能小得近乎可以忽略不计，或者它可能包含几乎所有的整数。数学家们计算出，如果伯奇和斯文纳顿-戴尔猜想是正确的，那么在1000万以下的数字中，约59%是两个有理数的立方和。

蓝色的数可以写成两个有理数的立方和，其它则不能。

哈佛大学的巴里·马祖尔（Barry Mazur）说，与奇数和偶数不同，这两个阵营很微妙。没有测试来确定哪些数字属于（已知的对所有数字都适用的）哪个阵营。数学家们已经提出了一些强有力的候选测试，但目前每种测试都有一些缺点：要么不能证明测试总会得出结论，要么不能证明结论是正确的。

现在，在10月下旬发布在网上的一篇论文中，文章开头提到的三位数学家已经证明，至少2/21和最多5/6的整数可以写成两个有理数的立方和。

立方和的问题不仅仅是一个令人好奇的问题，它还和椭圆曲线有密切的关系。椭圆曲线具有非常复杂的结构，这使它们成为纯数学和应用数学等许多领域的中心。作为该领域的核心问题，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想成为了克雷数学研究所的千禧奖问题之一。关于这个猜想的一切，可以阅读下面的文章：

一个关于椭圆曲线的世界数学难题，揭示了数学领域之间深层的联系

这项新工作建立在研究人员在过去20年里开发的一套工具的基础上。这套工具用来探索椭圆曲线的全部家族。理解两个数的立方和是在“分析一个更小的族”，根据研究人员的说法，“族越小，问题就越难”。

与很丰富的“是分数立方和的数”相比，很少整数是两个分数的平方和。17世纪早期，数学家阿尔伯特·吉拉德和皮埃尔·德·费马想出了一个简单的测试方法，可以确定哪些整数是两个有理数的平方和：将数分解为质数，然后计算除4时余数为3的每个质数的指数。如果这些指数都是偶数，那么这个数字就是两个有理数的平方之和；否则，它就不是。例如，将490因子分解为

这些因数中，除4余数是3的只有7，而7的指数是偶数。因此，490是两个有理数的平方和，

绝大多数数字都不能通过偶数指数检验。如果（在所有整数中）随机选择一个整数，它是两个分数平方和的概率基本上是零。数学家们认为，两个分数的四次方、五次方或高于三的任何次方的和也是如此。只有立方和才会突然变得丰富起来。

数学家习惯于三次方程的表现与其他次方程的表现不同。在由两个变量组成的方程中，最高指数为1或2的方程往往易于理解（通常它们要么没有有理解，要么有无穷多个）。同时，最高指数为4或更高的方程通常只有有限的有理解。

相比之下，三次方程可以有有限多个解，也可以有无限多个解，或者根本没有解。这些方程代表了3以下指数和3以上指数之间的一种相变。

三次方在各个方面都是不同的。

三次方程非常难以理解。没有一种万能的方法可以计算三次方程的有理解。研究人员说，

即使我们拥有非常强大的计算能力，如果你给我一条系数非常大的椭圆曲线，我也不一定知道它有多少个有理解。

在两个立方和的问题中，涉及的分数可能是巨大的，例如，数字2803是两个分数的立方和，每个分数的分母都有40位。研究人员说，一旦研究百万级的数字，许多分数“涉及的数字是无法想象的”。

因为椭圆曲线是如此的难以控制，数论学家们在寻找将它们与更容易控制的物体联系起来的方法。今年4月，研究人员发现，只要一个立方和方程有有理解，就有办法构建至少一个特殊的2 × 2 × 2 × 2矩阵（一个更熟悉的二维矩阵的四维类似物）。

为此，研究小组借鉴了两个经典课题，这两个课题都被研究了一个多世纪。一个是“数字几何”，涉及到如何计算不同几何形状中的晶格点。在过去的20年里，这一主题在椭圆曲线领域得到了复兴。

另一种方法被称为圆法，起源于20世纪初印度传奇数学家拉马努金和哈代的工作。使用这些方法，三人能够证明，至少1/6的整数不存在2 × 2 × 2 × 2矩阵。这意味着对于这些数，立方和方程没有有理解。所以不超过5/6的整数，可以是两个分数的立方和。

相反，他们发现所有整数中至少有5/12恰好有一个匹配矩阵。很容易得出这样的结论，这些数字是两个数的立方和。每一个是两个数立方和的数都有一个矩阵，但这并不一定意味着相反的情况是正确的：每一个有矩阵的数都是两个数的立方和。

这三位数学家需要椭圆曲线研究人员所说的逆定理，即获取关于三次方程的信息，并利用它构造有理解。逆定理形成了椭圆曲线理论的一个蓬勃发展的子领域，这个子领域的两位专家能够证明，至少在某些情况下，如果一个整数只有一个相关矩阵，那么这个数一定是两个有理数立方的和。他们的定理，从本质上证明了伯奇和斯威纳顿-戴尔猜想的一个相关部分。他们并没有仅仅用一个矩阵证明他们的定理，而是强加一个技术条件，将5/12子集缩减到2/21。

要证明完整的猜想（所有整数中恰好有一半是两个有理数的立方和），将需要处理有多个相关矩阵的数字集。这个集合“非常模糊”，它既包括两个有理数的立方和，也包括不是两个有理数的立方和。处理这样的数字集需要全新的想法。

来源：quantamagazine