蒙特卡洛模拟是一种基于随机数和概率分布的数值计算方法，广泛应用于金融、物理、工程等领域，用于解决复杂的概率问题。它通过多次随机实验，逼近问题的解或估计某些指标的值。在现代计算中，Python 提供了丰富的库和工具，可以高效地实现蒙特卡洛模拟。
蒙特卡洛模拟的基本原理蒙特卡洛模拟的核心思想是通过随机抽样和大量实验，逼近真实结果。
其基本步骤包括：
构建数学模型：明确问题并将其表示为概率问题。生成随机样本：根据问题的概率分布，生成大量随机数据。模拟实验：对每个随机样本执行实验或计算。统计结果：通过实验结果估计目标值或概率。蒙特卡洛模拟的精度取决于实验次数：实验次数越多，结果越接近真实值。
示例数据准备在实际问题中，蒙特卡洛模拟可以用于估算 π 的值、金融风险评估、随机过程模拟等。以下通过估算 π 的值引入基本实现。
用蒙特卡洛模拟估算 π 的值
在一个单位正方形中，画一个内接圆。通过随机生成点计算落入圆内的点占总点数的比例，可以近似求得 π 值：
import random# 蒙特卡洛模拟估算 πdef estimate_pi(num_samples): inside_circle = 0 for _ in range(num_samples): x, y = random.uniform(0, 1), random.uniform(0, 1) if x**2 + y**2 <= 1: inside_circle += 1 return 4 * inside_circle / num_samples# 运行模拟num_samples = 100000pi_estimate = estimate_pi(num_samples)print(f"使用 {num_samples} 次模拟估算 π 的值为：{pi_estimate}")运行结果示例：
使用 100000 次模拟估算 π 的值为：3.13872随机过程模拟随机过程是蒙特卡洛模拟的重要应用场景，特别是在金融和物理领域。例如，股票价格的随机变化可以用布朗运动来建模。
假设初始股票价格为 ( S_0 )，每天的价格变化服从正态分布 ( \mathcal{N}(\mu, \sigma) )。通过模拟未来若干天的价格变化，可以预测价格的可能范围。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Simulate stock price using Brownian motiondef simulate_stock_price(S0, mu, sigma, days, num_simulations): dt = 1 # Time step of 1 day simulations = [] for _ in range(num_simulations): prices = [S0] for _ in range(days): change = np.random.normal(mu * dt, sigma * np.sqrt(dt)) prices.append(prices[-1] * np.exp(change)) simulations.append(prices) return np.array(simulations)# ParametersS0 = 100 # Initial pricemu = 0.05 # Daily return ratesigma = 0.2 # Daily volatilitydays = 252 # Simulate one yearnum_simulations = 100 # Number of simulations# Simulate and visualize the resultssimulated_prices = simulate_stock_price(S0, mu, sigma, days, num_simulations)for prices in simulated_prices: plt.plot(prices, alpha=0.5)plt.title("Stock Price Brownian Motion Simulation")plt.xlabel("Days")plt.ylabel("Price")plt.show()输出结果：
此代码生成若干条可能的股票价格路径，反映价格的随机波动。
概率分布实现蒙特卡洛模拟需要随机数的支持，而这些随机数通常遵循某种概率分布。
生成正态分布随机数
正态分布广泛应用于自然现象和金融建模。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成正态分布的随机数mean, std_dev = 0, 1 # 均值和标准差samples = np.random.normal(mean, std_dev, 1000)# 可视化分布plt.hist(samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')plt.title("Normal Distribution Random Numbers")plt.show()输出结果：
生成均匀分布随机数
均匀分布常用于简单的随机抽样。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成均匀分布的随机数samples = np.random.uniform(0, 1, 1000)# 可视化分布plt.hist(samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')plt.title("Uniform Distribution Random Numbers") plt.show()输出结果：
自定义分布
可以通过概率密度函数（PDF）或累积分布函数（CDF）生成自定义分布的随机数。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 自定义概率密度函数def custom_pdf(x): return 2 * x # 示例：线性分布# 生成自定义分布的随机数x = np.linspace(0, 1, 1000) # 定义区间 [0, 1] 上的点y = custom_pdf(x) # 计算概率密度值custom_samples = np.random.choice(x, size=1000, p=y/y.sum()) # 生成随机数# 可视化分布plt.hist(custom_samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='r', label="Random Numbers Distribution")plt.plot(x, y/y.sum(), 'k-', linewidth=2, label="Theoretical Distribution") # 叠加理论分布曲线plt.title("Custom Distribution Random Numbers") # 英文标题plt.xlabel("Value")plt.ylabel("Density")plt.legend()plt.show()输出结果：
实际应用场景选址问题的模拟
假设一个公司计划在城市中选址，需要评估交通流量的随机变化对选址的影响，可以通过蒙特卡洛模拟实现。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 模拟交通流量和利润def simulate_traffic(num_samples, traffic_mean, traffic_std): traffic = np.random.normal(traffic_mean, traffic_std, num_samples) # 生成交通流量 profit = traffic * 100 - 5000 # 利润 = 客流量 * 收入 - 固定成本 return profit# 参数设置num_samples = 10000 # 样本数量traffic_mean, traffic_std = 100, 15 # 交通流量的均值和标准差# 生成利润数据profit_samples = simulate_traffic(num_samples, traffic_mean, traffic_std)# 可视化利润分布plt.hist(profit_samples, bins=30, alpha=0.6, color='purple', label="Profit Distribution")plt.axvline(x=0, color='red', linestyle='--', label="Break-even Point") # 标记盈亏平衡点plt.title("Profit Distribution for Location Selection Problem") # 英文标题plt.xlabel("Profit (RMB)")plt.ylabel("Frequency")plt.legend()plt.show()# 计算并输出风险概率risk_probability = (profit_samples < 0).mean()print(f"Probability of Loss: {risk_probability:.2%}") # 亏损概率# 计算并输出平均利润和利润标准差mean_profit = np.mean(profit_samples)std_profit = np.std(profit_samples)print(f"Mean Profit: {mean_profit:.2f} RMB")print(f"Standard Deviation of Profit: {std_profit:.2f} RMB")输出结果：
Probability of Loss: 0.03%Mean Profit: 5012.18 RMBStandard Deviation of Profit: 1501.25 RMB
金融衍生品定价
蒙特卡洛模拟也广泛用于金融衍生品（如期权）的定价，通过模拟资产价格路径估计衍生品的期望价值。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟def monte_carlo_option_pricing(S0, K, T, r, sigma, num_simulations, num_steps): """ 使用蒙特卡洛模拟定价欧式看涨期权。 参数: S0: 初始资产价格 K: 行权价 T: 到期时间（年） r: 无风险利率 sigma: 资产波动率 num_simulations: 模拟路径数量 num_steps: 时间步数 返回: option_price: 期权价格 """ dt = T / num_steps # 时间步长 discount_factor = np.exp(-r * T) # 贴现因子 # 模拟资产价格路径 S = np.zeros((num_simulations, num_steps + 1)) S[:, 0] = S0 # 初始价格 for t in range(1, num_steps + 1): z = np.random.standard_normal(num_simulations) # 标准正态随机数 S[:, t] = S[:, t - 1] * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * z) # 计算期权收益 payoff = np.maximum(S[:, -1] - K, 0) # 计算期权价格（贴现后的平均收益） option_price = discount_factor * np.mean(payoff) return option_price, S# 参数设置S0 = 100 # 初始资产价格K = 105 # 行权价T = 1 # 到期时间（年）r = 0.05 # 无风险利率sigma = 0.2 # 波动率num_simulations = 10000 # 模拟路径数量num_steps = 252 # 时间步数（假设交易日为252天）# 定价option_price, price_paths = monte_carlo_option_pricing(S0, K, T, r, sigma, num_simulations, num_steps)print(f"欧式看涨期权的蒙特卡洛估计价格为: {option_price:.2f}")# 可视化部分资产价格路径plt.figure(figsize=(10, 6))for i in range(10): # 仅绘制前10条路径 plt.plot(price_paths[i, :])plt.title("Simulated Asset Price Paths")plt.xlabel("Time Steps")plt.ylabel("Asset Price")plt.show()输出结果：
欧式看涨期权的蒙特卡洛估计价格为: 8.18
总结本文详细介绍了蒙特卡洛模拟的基本原理及其在 Python 中的实现，包括 π 的估算、随机过程模拟和概率分布生成等内容。此外，还展示了蒙特卡洛模拟在选址问题和金融建模中的实际应用。通过大量的随机实验和统计分析，蒙特卡洛方法可以有效解决复杂的概率问题，是现代计算中的重要工具。
