一、AB+AA=123，A+B=？

最近一道加法竖式题在网上“另类走红”！如图一，

图一

AB+AA=123，其中A、B代表不同的数字，求A+B=？

光在头条APP搜索“AB+AA=123”，就有几十条发布记录，但评论区负面评论占据大多数，几乎骂声一片！

本文关注两个问题：①何种情形有解、何种情形无解？②解为多少，如何求？

二、10进制下无解，招人嫌！

在10进制下，A+B只有两种取值可能：A+B=13或A+B=3。

若A+B=13，则由两数之和为三位数可知，A≥5，共5种可能情形：A=9、B=4，或A=8、B=5，或A=7、B=6，或A=6、B=7，或A=5、B=8。无论哪一种情形AB与AA两数之和的十位都为单数，矛盾！

若A+B=3，则A≤3，从而AB与AA两数之和必为两位数，矛盾！

三、小学学过的非10进制

60进制：1分钟=60秒，1小时=60分钟。

24进制：1日=24小时。

7进制：1周=7天。

30进制：1月=(约)30日。

12进制：1年=12个月。

365进制：1年=(约)365日。

1000进制：1吨=1000千克，1千克=1000克。

还有孩子们在“信息科学课”课堂接触到的“2进制”！

尽管孩子们对非10进制不陌生，但用非10进制来计数，比如加法竖式，确切超纲无疑，本质上是多项式问题！比如a进制数“123”本质上是一个二次多项式的值，即“123”=1×a×a+2×a+3！

四、双数进制情形：无解！

设进制为双数a，由两数之和的个位数字3可知，a≥4。此时A+B有两种取值可能：A+B=a+3或A+B=3。

若A+B=a+3，则AB与AA两数之和的十位必等于2A+1-a、单数，与其和的十位数字2矛盾！

若A+B=3，则AB与AA两数之和必为两位数，矛盾！

五、单数进制情形：可能有解也可能无解！

①5进制情形：无解！

此时，A+B要么等于3要么等于8！

若A+B=3，则AB+AA必为2位数、不等于123，矛盾！

若A+B=8，则由A、B均＜5可得A=B=4，矛盾！

②7进制情形：有解，A+B=10！

当A=4、B=6时有“AB+AA=123”。

7进制数“46、44和123”换算成10进制数分别为34，32和66，也即有34+32=66。

比如“123”=1×7×7+2×7+3=66。

③9进制情形：有解，A+B=12！

当A=5、B=7时有“AB+AA=123”。

9进制数“57、55和123”换算成10进制数分别为52、50和102，也即有52+50=102。

比如“123”=1×9×9+2×9+3=102。

④11进制情形：有解，A+B=14！

当A=6、B=8时有“AB+AA=123”。

11进制数“68、66和123”换算成10进制数分别为74、72和146，也即有74+72=146。

比如“123”=1×11×11+2×11+3=146。

⑤13进制情形：有解，A+B=16！

当A=7、B=9时，有“79+77=123”。

13进制数“79、77和123”换算成10进制数分别为100、98和198，也即有100+98=198。

比如“123”=1×13×13+2×13+3=198。

六、单数进制情形：若A+B有解，则解唯一，且A+B=a+3，其中a≥7为进制且为单数！

由两数之和的个位数字为3且a为单数，可知a≥5！再由“五”可知，不妨记a≥7！

此时，A+B=a+3或A+B=3(舍弃，否则AB+AA必为两位数)。

七、单数a进制情形：a≥7！A+B必有解，且A+B=a+3，此时，A=(a+1)/2，B=(a+5)/2！

由“六”及加法竖式可知，A+B=a+3，且A+A=a+1。由此求得A=(a+1)/2，B=(a+5)/2。

以7进制为例，A=4，B=6，A+B=10。9进制、11进制、13进制情形，详见第五部分。

以23进制为例，A=12，B=14，A+B=26！此时23进制下“AB”、“AA”和“123”分别对应10进制数：

“AB”=12×23+14=290，

“AA”=12×23+12=288，

“123”=1×23×23+2×23+3=578。

八、结论

综上，图一加法竖式：

①在双数进制情形无解！

②在单数a进制情形，其中a≥7，必有解：A=(a+1)/2，B=(a+5)/2，A+B=a+3！

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