如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+4(a≠0)经过点(-1,6),与y轴交
于点C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),连接AC,BC,tan∠CBA=4.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点,过点P作PE⊥X轴,垂足为E,交AC
于点D.点M是线段DE上一动点,MN⊥y轴,垂足为N,点F为线段BC的中点,连接AM,NF、当线段PD长度取得最大值时,求AM+MN+NF的最小值;
(3)将该抛物线沿射线CA方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点,当∠QDK=∠ACB时,直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
分析:
第1问:常规求二次函数解析式,容易求得y=-x²-3x+4
第2问:两个考点,一个是铅锤法求线段最值,二个是将军饮马造桥问题;
①铅锤法求PD最大值,能求得P(-2,6)、D(-2,2)、E(-2,0)、MN=2;
②将军饮马造桥问题,辅助线作法以及计算。
辅助线:
AA'∥MN且AA'=MN,则A'(-2,0)即与点E重合;
连接FA'与y轴交于点N,过点N作NM⊥PD于点M,即为所求;
计算:
AM+MN+NF=EN+2+NF
所以当E、N、F三点共线时有最小值
此时AM+MN+NF的最小值=EF+2=√41/2+2
第3问:角度存在性问题
可以求出平移后的二次函数解析式为y=-x2-7x-8
如图所示:
①∠Q1DK=∠ACB,利用三角函数关系求点的坐标
首先,求出tan∠ACB=5/3
其次,构造一线三垂直如图所示,并求出点R的坐标
再次,求出直线RD的解析式
最后,联立直线RD解析式与抛物线解析式求得Q1的坐标;
②∠Q2DK=∠ACB,此时直线DQ2平行直线BC
首先,求出直线DQ2的解析式;
然后,联立直线DQ2解析式与抛物线解析式求得Q2的坐标;
总结:
1、第1问,常规求二次函数解析式,非常基础的题目;
2、第2问,铅锤线段最值以及将军饮马(造桥问题),也比较常规;
3、第3问,按照“研讨会”的会议要求,考的角度存在性问题,解题方法比较常规,之前练习过的,应该不难