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此前发布了一道初中数学竞赛题：等腰三角形内一点与3个顶点连线共形成6个角，其中4个角的角度已知，求剩余2个角的角度！此题难度超大，班上全军覆没，学霸也不例外！10分钟内能做出来的同学，其高考数学成绩大概率140以上！

初中数学竞赛：如图一，

图一

P为三角形ABC内一点，连接PA、PB和PC，∠ABP=30°，∠PBC=40°，∠BCP=20°，∠ACP=50°，求∠PAC。

解析：需使用两次角平分线定理！

①过点A作BC的垂线AE，与BP的延长线相交于点D，连接CD，如图二

图二

②注意到∠ABC=∠ACB=70°，故△ABC为等腰三角形，从而其关于AE对称，也即有BD=CD，∠DCE=∠DBE=40°。

③∠DCP=∠DCE-∠BCP=20°=∠BCP，即CP为△BCD中∠BCD的角平分线。由角平分线定理可得BP/BC=PD/CD，即BC/CD=BP/PD。

④过点D作AC的垂线DF，如图三

图三

⑤注意到∠DCF=∠ABD=30°，在直角三角形CDF中，30°角对应的直角边等于斜边的一半，即CD=2DF。

⑥S四边形ABDC=2S△ACD=DF×AC，另一方面，S四边形ABDC=AD×BC÷2。故AD×BC=2DF×AC=CD×AC，也即有BC/CD=AC/AD。

⑦注意到AB=AC，由④和⑥即知，BP/PD=BC/CD=AC/AD=AB/AD，再由角平分线定理可知，AP为∠BAD的角平分线。

⑧注意到∠BAE=∠CAE=20°，再由⑦即得∠BAP=∠DAP=10°。因此∠PAC=30°。

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