想要对几何学作一个恰当的讲解是不容易的。因为这个数学分支的基本概念要么太简单，无需解释，例如，没有必要在这里来讲什么是圆，什么是直线，什么是平面等等；要么就比较高深。然而，如果没有见过这些高深的概念，对于现代几何学将一无所知。那么，要是懂得了两个基本概念，收获一定会大得多。这两个概念就是∶几何学与对称性的关系，以及流形的概念。

广泛地说，几何学就是数学里使用几何语言的那一部分，诸如“点”，“直线”，“平面”，“空间”，“曲线”，“球”，“立方体”，“距离”，还有“角”，都是几何中基本且关键的概念。但是，还有一个更深刻的观点，就是克莱因所主张的，认为变换才是这门学科的真正核心。所以，除了上面列举的那些词以外，还要加上“反射”、“旋转”、“平移”、“拉伸”、“剪切”和“投影”这些词。还有稍微进阶的概念，例如“保角映射”或者“连续变形”。

变换总是和群在一起，因此几何学与群论就有密切的关系。给定了一个变换群，就有一种相应的几何学。特别是，若一个图形经过此群中的一个变换能够变成另一个图形，就说它们是等价的。不同的群会导出不同的等价概念。下面就要简短地描述一下最重要的几何学以及与之相关的变换群。

欧几里得几何就是绝大多数人所认为的“普通的几何学”。例如，三角形的内角和为180°这个定理就属于欧几里得几何学。

要想从变换的角度来看待欧几里得几何，就要先说明是在多少维的空间里进行研究的，当然也必须指定一个变换群。一个典型的变换是刚性变换。可以用两个方法来考虑这种（刚性）变换。其一是，刚性变换就是在平面里、三维空间里，或者更为一般是在R^n里的保持距离不变的变换。就是说，给定两个点x与y，若一个变换T使得Tx和Ty的距离等于x和g的距离，就说T是一个刚性变换。

后来发现，每一个这样的变换都可以用旋转、反射和平移的复合来实现。这就给了第二种也是比较具体的思考这个群的方法。换句话说，欧几里得几何研究的就是那些在旋转、反射和平移下不变的概念，这些概念里就包括了点、直线、平面、圆、球、距离、角、长度、面积和体积。R^n中的旋转构成了一个重要的群∶特殊正交群，记作SO（n）。更大一点的正交群O（n）还把反射也包括进去了。

除了旋转和反射以外还有许多别的线性映射。如果把SO（n）或者O（n）放大，使之把尽可能多的这些线性变换也包括进来，又会发生什么？要使一个变换成为群的元素，它就必须是可逆的，但并非所有线性变换都是如此，所以一应该考察的群就是由R^n的所有可逆的线性变换所成的群GL_n（R）。所有这些变换都令原点不动。但如果我们愿意，还可以把平移也加进来得到一个更大的群，就是包括所有形如x→Tx＋b的变换所成的群。这里b是一个固定的向量，而T是一个可逆的线性变换。这样得到的几何学称为仿射几何学。

因为线性映射中还包括了拉伸和剪切，它们既不能保持距离也不能保持角度，所以距离和角度都不是仿射几何学的概念。然而，经过可逆的线性映射和平移以后，点、直线、平面仍然是点、直线、平面，所以这些概念都属于仿射几何学。另一个仿射概念是两条直线的平行（就是说，虽然线性映射一般并不保持角度不变，但是，角度为零却得到了保持）。这意味着虽然在仿射几何学中没有矩形或正方形这样的东西，却可以讨论平行四边形。类似地，虽然不能讨论圆，却可以讨论椭圆，因为线性映射总是把椭圆变为椭圆。

与一个群相联系的几何学“研究的是被此群的所有变换保持的概念”这个思想可以用等价关系搞得更加确切。令G是R^n中的一个变换群。可以把一个d维“图形”看成是R^n的一个子集合S。在研究G几何学的时候，并不把S和从它经过G中的变换得来的集合相区别。所以这时我们说这两个图形是等价的。例如，两个图形在欧几里得几何中为等价，当且仅当它们在通常的意义下是全等的，而在二维仿射几何学里，所有的平行四边形都是等价的，所有的椭圆也都是等价的。总之，我们可以认为G几何学的基本对象是图形的等价类，而不是图形本身。

拓扑学可以认为是当应用最宽松的等价概念所得到的几何学，其中我们说两个图形是等价的，或者用数学语言说是同胚的，如果二者的每一个都可以“连续变形”为另一个。例如，球和立方体就是在这个意义下等价的，如下图所示

因为存在很多很多的连续变形，要想说两个图形在这个意义下不等价就很难了。例如，似乎很明显，球面不能连续变形为一个环面，因为它们是本质不同的图形——一个有“洞”，一个没有。然而，把这种直观变成严格的论证并非易事。更详细的涉及不变式、代数拓扑、微分拓扑。我们后面慢慢讨论。

至此，我们一直是在逐步放松对于两个图形为等价的要求，允许越来越多的变换。现在我们要再次收紧，考虑球面几何学。现在的宇宙不再是R^n而是n维球面S^n，即半径为1的（n＋1）维球体的表面，或者用代数方法来表示，即R^（n+1）中适合方程

的点（x_1，x_2，…，x_n+1）的集合。正如3维球体的表面是2维的一样，这个集合则是n维的。我们将只讨论n=2的情况，但是很容易推广到更大的n。

现在适当的变换群是 SO（3），它是由所有这样的旋转组成，这些旋转的轴是经过原点的直线（也可以允许反射而取O（3），它们是球面S^2的对称；在球面几何学里就这样来看待它们，不把它们看成整个R^3中的变换）。

在球面几何学中有意义的概念有直线、距离和角。限制在球体表面上而又谈论直线，这看起来有些奇怪，但是，“球面直线”并不是通常意义下的直线，而是S^2用如下方法得出的子集合∶用一个通过原点（球心）的平面与S^2相交所成的子集合（叫做大圆），即半径为1的圆，就是球面直线。

把大圆看成某种直线的重要理由还在于S^2上的两点 x，y 之间最短的路径就是大圆，当然，路径要限制位于 S^2 上。

两点x和y之间的距离定义为连接x和y而且完全位于S^2上的最短路径的长度。至于两条球面直线之间的角又如何定义？球面直线是定义为一个平面与S^2的交线，所以两条球面直线的交角可以定义为这两个平面在欧几里得几何学意义下的角。还有一个从审美角度来看的观点，它完全不涉及球面以外的东西。这个看法就是在这两条球面直线的两个交点之处看交点的一个小邻域，这时，球面的这一小部分几乎是平坦的，这两条直线也几乎是直的。所以可以定义这个角就是这个“极限平面”上的“极限直线”的欧式角。

双曲几何学

参照变换的某个集合（即变换群）来看几何学，这一思想只不过是看待这个学科的一个有用的途径。然而，来到双曲几何学时，变换的途径就是不可少的了。

产生双曲几何学的变换群是二维的特殊射影线性群，记作

讲解这个群的方法之一如下∶特殊线性群 SL_2（R）是所有的行列式为1的矩阵

的集合，即适合关系式 ad-bc =1的这种矩阵的集合（它们确实构成一个群，因为如果两个矩阵的行列式均为1，则它们的乘积也如此）。为了让它成为"射影的"，就令矩阵A等价于-A，例如，矩阵

为了从这个群得出一种几何学，首先必须把它解释为某个2维点集合的变换群。一旦做到了这一点，就把这个2维点集合称为双曲几何学的一个模型。微妙之处就在于双曲几何学没有一个看起来是最为自然的模型，如球面是球面几何学的模型那样。双曲几何学的三个最常用的模型是半平面模型、圆盘模型和双曲面模型。

半平面模型是与群PSL_2（R）最直接联系的模型，所需要的2维平面点集合是复平面C的上半平面，即所有复数z=x＋ig，y>0的集合。给定了矩阵以后，相应于此矩阵的变换就是把点z变为（az＋b）/（cz＋d）。条件 ad-bc=1是用于证明变换后的点仍然在上半平面上，还用于证明这个变换是可逆的。

这里还没有做的是∶对于距离还什么也没有说。正是在这种几何学里，需要用群来“生成”几何学。如果想要有一个从变换群角度看来是距离概念，那么重要的就是这种变换要保持这个距离不变。就是说，如果T是一个这样的变换，而z和w 两点在上半平面里，则T（z）和T（w）也在上半平面，而且

可以证明，本质上恰好只有一种定义距离的方法具有这个性质，用变换来"生成"的几何学就是这个意思。

这个距离有一些初看起来显得奇怪的性质。例如，一条典型的双曲直线的形状是端点在实轴上的半圆弧。但是，说它是半圆，不过是从C上的欧几里得几何学的观点来看是半圆；从双曲几何学的观点来看，欧几里得几何学的直线是“直”的，也同样奇怪。两种距离的真正差别在于，双曲距离和欧几里得距离比较起来，越是接近实轴，前者变得越大。所以要从点z走到点w，“绕道”偏离实轴，路程反而更短，最佳的弯道就是沿着连接点z和点w而且与实轴成直角的半圆弧。

2维双曲几何学的最著名的性质之一，就是它是一种使得欧几里得平行线公设不成立的几何学。就是说，可以找到一条双曲直线L和其外一点 x，使得过点x可以画出两条直线都不与 L 相交。在适当解释后，欧几里得几何学的所有其他公理在双曲几何学中都成立。由此可知，从那些公理是不可能推导出平行公设的。这个发现解决了一个困扰历代数学家两千多年的问题。

另一个性质补全了关于欧几里得三角形和球面三角形的内角和的性质。有一个很自然的双曲面积概念，具有顶角α，β和γ的双曲三角形的面积是π-a-β-γ。 所以在双曲平面上，a＋β＋σ总小于π，而当三角形非常小的时候，就几乎等于π。 内角和的性质反映了以下的事实∶球面具有正的曲率，欧几里得平面是"平坦”的，而双曲平面则有负曲率。这样，双曲三角形、欧几里得三角形和球面三角形的内角和分别小于、等于和大于π；其差与曲率成正比；而这些空间的曲率也相应地为负、为零和为正。上面说是“补全了”相应性质，就是这个意思。

圆盘模型是庞加莱在一个著名的瞬间，在登上一辆公共汽车的时刻想出来的，它的点集合就是C平面的开单位圆盘，也就是模小于1的复数的集合D。 现在，典型的变换形状如下。取D中的一个复数 a 以及实数θ，这个变换就把z点变为点

这些变换成为一个群并不完全是显然的，而这个群同构于PSL_2（R）就更不显然。然而可以证明，变z为-（iz＋1）/（z＋i）的函数把单位圆盘映为上半平面，反过来也一样。这就证明了这两种几何学是相同的，可以用这个函数把一个几何学的结果变为另一个几何学的结果。

和半平面模型一样，当接近圆盘的边缘时，双曲距离比欧几里得距离越来越大，从双曲几何学的视角看来，圆盘的直径是无穷大，它实际上没有边缘。

双曲圆盘的一个镶嵌铺装

上图表明，可用一些全等图形把圆盘镶嵌铺装（tessellation）起来，说这些图形全等是指其任意一个图形都可以用群中的一个变换变为任意另一个。所以，尽管这些图形看起来不都相同，但是从双曲几何的视角看来，它们却是大小相同形状也一样的。圆盘模型中的直线或者是与单位圆周交成直角的（欧几里得）圆弧，或者是经过圆盘中心的（欧几里得）直线线段。

双曲面模型可以解释这个几何学何以称为双曲几何学。这一次，点集合就是

这是一个单叶旋转双曲面，它是由平面z=0上的双曲线x^2=1＋z^2绕z轴旋转生成的。PSL_2（R）里的一般的变换，就是这个单叶旋转双曲面上的某种“旋转”，而可以从真正的绕 z 轴的旋转和 xz 平面上的“双曲旋转”合成，所谓双曲旋转就是矩阵为

的变换。正如普通的旋转保持单位圆周一样，双曲旋转保持双曲线x^2=1＋z^2，而让其内侧的点互相变动。同样，说这种变换会给出和上面同样的群，这并非显然的事，然而事实确实如此，从而双曲模型和上面两个模型是等价的。

这是一个用于狭义相对论的几何学，以4维时空，又称闵可夫斯基空间为模型。它与4维的欧几里得几何学的主要区别在于它考虑的不是两点（t，z，g，z）和（t'，x'，y'，z'）的通常的距离，而是以下的量

如果不是前面的极为重要的负号，它就是欧几里得距离的平方。这反映了一个事实，即时间和空间是极为不同的（虽然它们交织在一起）。

洛仑兹变换就是一个由R^4到R^4而且保持上面的"广义距离"不变的线性映射。令g为（t，x，y，z）到（-t，x，y，z）的线性映射，而G为g的相应的矩阵（主对角线上的元素为-1，1，1，1，其余元素为0的矩阵），我们可以抽象地定义洛仑兹变换为

对于一个点（t，x，y，z），如果

就说这个点是类空的；而若

就说它是类时的；而若

就说它位于光锥上。所有这些都是真正的洛仑兹几何学的概念，因为它们都是被洛仑兹变换所保持的。

洛仑兹几何学对于广义相对论也有基本的重要性，广义相对论可以说就是对洛仑兹流形的研究。这些都与黎曼流形密切相关。

以前的人们很自然地会以为地球是平坦的。他们相信最好的描述宇宙的几何学是3维欧几里得几何学。然而，这是错误的，和相信2维欧几里得几何学是地球表面最好的模型同样错误。现在我们知道了地球表面其实是球面，看起来像一个平面，是因为它很大。

即使没有相对论，也没有理由认为宇宙是欧几里得几何学的最好的模型。因为我们何以肯定，4维球体的3维表面不会给出更好的宇宙模型呢？说不定如果你坐着火箭飞上足够远而不改变航向，最后也会回到原地。 数学上描述一个“正常的”空间是容易的。只要对空间的一点按通常的方法给以坐标的三元组（x，y，z）就行了。但是怎样来描述一个巨大的“球形”空间呢？这要稍微难一点，但也不太难，可以对每一点给出四个坐标（x，y，z，w），但是加上一个条件，即对于一个固定的R，它们要满足方程

我们把这个R 看成是宇宙的“半径”，这样就把3维空间描述为一个4维球体的表面。

会有一些反对的声音，就是它依赖的是一个很不可能的思想，即宇宙是生活在一个更大的未曾观测到的4维空间里面。作为回应， 我们刚才定义的对象，即3维球面S^3也可以用所谓内蕴的方式来定义，就是不需要参照任何包含的空间。看出这一点的最容易的方法是先看2维球面，然后再作类比。

所以，让我们先想象一个行星，上面是平静的水面。如果在北极丢一块大石头到水里，就有水波作为半径越来越大的圆传播开去（在任意时刻，这个圆都是一个纬圈）。然而到了一个适当的时刻，这个纬圈达到了赤道，在这以后，它就会“收缩”，一直到最后，波到达南极，立刻成为能量的突然爆发。

现在假想在3维空间里突然发出光波（例如可以是打开一盏明亮的灯）。现在波前不再是一个圆，而是一个不断扩展的球面。它可能扩展得很大很大，然后又开始收缩，但是不是收缩到原来的起点，而是“从里翻到外地”收缩到另外一点。从逻辑上说，这是可能的。

只要注意2维情况的类比就可以看到这种可能性，当上面说的纬圈扩展到赤道以前，北半球算是纬圈的内面，而南半球算是外面；但是一旦扩展越过赤道，南半球就算是内面，而北半球就“从里翻到外地”变成了外面。

要可视地看到这种可能性，要费点劲，而且这个“翻转”的过程用不着求助于第四个维度。关键在于这样的说法可以变成对于3维球面的一个数学上相容的3维的描述。

处理这个问题的一个不同的而且更加一般的途径是使用图册。 一本世界地图集，是由许多平面的地图页订成的。虽然一个图册画的是3维宇宙中的一个对象，但是地球表面的球面几何学却只需从平面的图页上读出。这件事做起来虽然不太方便，但确实是可能的，例如可以这样来描述旋转∶第17页的某个部分要移动到第 24页的某一部份，虽然有点扭曲，却是相似的。

这样做不仅是可能的，而且一个2维曲面可以这样用2维图册来定义。例如，一个2维球面就可以定义如下∶这本图册仅有两页，每一页都是一个圆形。一页是北半球，但是稍大一点，越过赤道以便与南半球复叠起来；另一页则是南半球，但也稍大一点，包含了北半球邻近赤道的一小块。因为这两页地图都是平坦的平面，就必定有点扭曲，但是我们可以说得出扭曲有多大。

图册的概念很容易推广到3维情况。现在，每一"页"都是3维空间的一部分。 专业名词不说是“（图）页”，而说是“区图”（chart）∶一个3维图册就是若干3维区图的集合，当然还需指明，一个区图的某一部分如何对应于另一区图的哪一部分。3 维球面有一个图册，它推广了刚才讨论的2维球面的简单图册，这个图册包含了两个立体的3维球体。在一个球体靠近边缘（球面）的部分的点与另一球体靠近其边缘部分的点之间有一个对应，这样就可以来描述其几何学了∶当你来到某个球体边缘附近时，就会发现已经走到了重叠的区域，同时走到了另一个球体里去了。如果再往前走，就一个球体而言，您已经离开了它的地图，但是第二个球体把你接过去了。

2维和3维球面都是流形的基本例子，其他的例子还有环面和射影平面。非正式地说，一个d维流形，或简称为d流形M，就是一个具有以下性质的几何对象∶它的每一点的某个邻域，我们都感到像是d维欧几里得空间的一部分包围了这个点。

因为球面、环面、射影平面的很小一部分都非常接近于平面，所以它们都是2流形，虽然在2维情况下，更常用“曲面”这个词以代替流形一词（但是“曲面”并不一定是某个什么东西的“表面”，记住这一点很重要）。类似地，3维球面就是一个3流形。

流形的正式定义使用了图册的概念。有人说∶图册就是一个流形。这是“是”这个字的典型的数学用法，请勿与通常的用法混淆。在实践上，把流形想作区图的集合，连带着还有区图各个部分如何互相对应的规则，这种做法也不少见。如果你想对流形作一般的推理，而不是考虑特定的例子，那么，用图册和区图来定义它最为方便。

这里，用我们开始时考虑3维球面的“外包”（extrinsic）方法来考虑d流形可能会更好，就是把一个d流形看作一个生活在更高维空间里的d维“超曲面”。纳什定理指出，所有的流形都是这样产生的。但是要注意，想找出一个简单的公式来定义这个超曲面并不总是易事。例如，2维球面可以用简单的公式

而环面则要用一个稍微复杂的公式

要想找到有两个洞的环面的公式就不容易了。商也可以用来定义两个洞的环面，而我们深信所得的结果是一个流形，其理由还在于每一点都有一个小邻域，看起来就像欧几里得平面的一小部分。一般说来，任意一种构造方式，只要是给出了一个“局部地像一个d维欧几里得空间”的对象，就可以认为这个构造就是一个d流形。

流形的一个极为重要的特性在于对定义于其上的函数可以做微分。粗略地说，设M是一个流形，f是由M到R的函数，要看f是否在M上一点x处可微，首先要取M的一个包含x点的区图，并认为f是定义在此区图上的函数。因为区图是d维欧几里得空间R^d的一部分，而我们可以在这样的集合上做微分，所以可微性概念对于f也就有意义了。

当然，要使这个定义在流形上也能用，重要的是，如果f属于两个重叠的区图，则它应该对于这两个区图同为可微或不可微。如果给出两个重叠区图的对应关系的函数（称为转移函数）本身就是可微的，则同为可微或不可微就有了保证。具有这个性质的流形就称为微分流形，转移函数仅为连续而不一定可微的流形称为拓扑流形。可以进行微分这件事使得微分流形的理论与拓扑流形理论大为不同。

上述思想很容易从实数值函数推广到从M到R^d的函数，或者从M到另一流形M'的函数。然而，判定定义在一个流形上的函数是否可微，比求它的导数要容易得多。一个从R^n到R^m的函数在一点x处的导数是一个线性映射，定义在一个流形上的函数也是一样。然而这个线性映射的定义域并不是流形本身，而是在所讨论的点 x 处的切空间。

设有球面上两点P，Q，怎样确定它们的距离？答案依赖于如何定义球面。如果定义它为所有使得

那么P，Q就是R^3中的点。 所以可以用毕达哥拉斯定理算出它们的距离，例如（1，0，0）和（0，1，0）的距离就是根号2。

然而，我们真的想计算直线段PQ的长度吗？这个直线段并不完全落在球面上，所以用直线段来定义长度就与流形作为内蕴的有定义的对象这一思想完全不相容了。幸而前面在讨论球面几何学时就知道有一个自然的定义可以避开这个问题∶可以定义P，Q之间的距离为连接这两点，而且完全位于球面上的最短的路径的长度。

现在假设我们想要更一般地讨论流形上的点的距离。如果流形是作为一个更大的空间的超曲面给予我们的，就可以像在球面的情况那样定义此距离为最短路径的长度。但是若流形是用别的方法给予我们的，而我们仅仅知道的就是有一个方法可以证明每一点都包含在一个区图里面 — 就是有一个邻域可与 d 维欧几里得空间的一部分联系起来。这时，定义距离的方法之一就是采用区图中的相应点的距离作为定义。但是这样做，至少引起了三个问题。

第一个问题是我们想要考虑的P，Q可能属于不同的区图。然而这不是一个太大的问题，因为我们真正想要计算的是路径的长度，而只要能够定义充分接近的点之间的距离，就可以算出路径之长，而我们可以找出一个区图，使得这两个充分接近的点都在其内。

第二个问题要严重多了，那就是对于同一个流形有许多不同方法选择区图，所以我们的想法并不一定引到流形的单个距离的概念。更糟的是，即使我们决定了一组区图，它们还可能互相重叠，当有重叠发生时，无法使得各个区图里的距离相容。

第三个问题与第二个有联系。球的表面是弯曲的，而一个图册（不论是数学意义下的还是日常生活意义下的）里的区图是平坦的。所以区图里的距离不可能精确地相应于球面本身的最短路径的长度。

从以上问题能得到的最重要的启发就是∶如果想在一个给定的流形上定义距离的概念，怎样去做这件事，总有多种选择。非常粗略地说，黎曼度量（度规）就是进行选择的方法。

一个度量意味着一个合理的距离概念。一个黎曼度量就是决定无穷小距离的一种方法。这些无穷小距离可以用来计算路径的长度，而两点的距离就可以定义为它们之间的最短距离。为了看清怎样做这件事，先考虑普通的欧几里得平面上路径的长度。设（z，y）属于一条路径，而（x＋δx，y＋δg）是路径上另一点，但非常接近于（x，y）点。这时，这两点之间的距离是

要计算充分光滑的路径的长度，就在此路径上取许多点，而相邻两点都非常接近。把它们之间的距离加起来，就给出了一个很好的逼近。 取的点越多，这个逼近就越好。

然而，这只是应用这个公式作为开始，这个例子也还没有显示出黎曼度量真正的用处。为了显示出它的作用，我们要对讨论过的双曲几何学的圆盘模型再次给出更准确的定义。

当接近圆盘边缘时，双曲距离比欧几里得距离就会越来越大。一个更精确的说法就是∶

更一般地说，在平面的一部分上，黎曼度量就是以下形式的表达式∶

我们就是要利用它来计算无穷小距离以及路径的长度。使得这些距离均为正是很重要的，而

当然也需要E，F和G满足一些光滑性条件。

这个定义可以直截了当地推广到高维情况。在n维情况。必须用以下形式的表达式∶

最后，我们既然已知道在欧几里得空间的一部分上面如何定义许多不同的黎曼度量，就有了许多潜在的可能来在定义一个流形的区图上定义度量。流形上的黎曼度量就是在各个区图上选择相容的黎曼度量的方法。所谓"相容"就是指当两个区图重叠时，在重叠的部分上距离一定要相同。前面说过，一旦做到了这一点，就可以定义其上两点的距离为连接它们的最短路径的长度。

在一个流形上定义了黎曼度量以后，就有可能来定义许多其他概念，例如角度和体积。还可以定义重要的曲率概念，这个概念在里奇流中会讨论。另一个重要的定义是测地线的定义，它是欧几里得几何学里的直线概念在黎曼几何学里的类比。所谓一条曲线C是测地线，就是指若在其上任意给定两个相当接近的点，曲线C的弧段总是给出它们之间的最短路径，例如，球面上的测地线。

从上面的讨论现在就应该清楚了，在任意给定的流形上，总有许多可能的黎曼度量。黎曼几何学的一个重大主题，就是从其中选择在某方面“最好”的黎曼度量。 例如，如果在球面上选用那个显然的路径长度，则得到的黎曼度量特别对称，而这是一个很好的性质。特别是用了这一个度量后，球面的曲率是处处相同的。更一般地说，要找出外加的条件附加在黎曼度量上。理想的情况是这些条件要足够强，使得只有这一个黎曼度量能够满足它，至少是要使得满足这个条件的黎曼度量族会很小。