数学实践大概可以分为两大类：第一大类负责推动这门学科“向前”发展，即促使它由粗变精并不断拓展出新的分支学科；而第二大类则负责“向后”审查一下这种“向前”发展自身所依赖的基本概念、基本方法等是否可靠。如果不可靠的话，数学家还需想办法使其变得可靠。这第二大类的数学实践就是“数学基础”工作。

根据《古今数学思想》等数学史资料的记载，历史上只有很小比例的数学家专门从事过数学基础工作。古希腊时期那个宣称“万物皆数”的毕达哥拉斯学派就是一个明显的证据。该派学者们坚信世界上的一切现象最终都可以归结为整数和整数之比，在数学中，他们则建立起了与上述信念相一致的比例理论，其中所有量的比当然都可以归结为整数和整数之比，也就是说，它们都是“可通约的”。这样一来，整数便成为毕达哥拉斯学派比例理论的基础了。类似地，该派的其它数学理论也是以整数为基础的。数学以整数为基础的观念也逐渐成了当时数学界的一种共识。

不幸的是，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯却发现正方形对角线的长度与其一边的长度之比是不可通约的。根据亚里士多德的记载，毕达哥拉斯学派学者后来也通过归谬法证明了这一发现。该不可通约比的发现随即引发了一场数学基础危机。

现在让我们来到十九世纪末。这一时期的数学界开始了一场严密化运动。首先要讨论的领域是（数学）分析。众所周知，“无穷小”是分析中最重要的概念之一，而由莱布尼茨、牛顿等人构造出来的相关理论却是很不成功的，甚至遭到了贝克莱的嘲笑。为了摆脱这一理论困境，柯西另辟踢径，从界定另一个概念—“极限”入手来定义无穷小概念。他先给出如下的极限定义：

当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使得变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其它值的极限。

利用该极限概念，柯西这样定义了作为非固定数的无穷小概念：

当一个变量的数值这样地无限减小，使之收敛到极限０，那么人们就说这个变量称为无穷小。

在极限与无穷小这两个基本概念的基础上，柯西又进一步定义了分析中的其它一系列重要概念。这样一来，极限概念就成为柯西分析理论的基础了。之后，魏尔斯特拉斯对柯西的工作进行了改造。针对柯西的极限定义，他指出该定义中“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值”的表述会让人联想到运动和时间，而对这类直觉的排除正是这场数学严密化运动所要完成的任务。

魏尔斯特拉斯对该定义所做的改造如下：他先把变量解释为一个字母，它代表该变量可以取值的集合中任何一个数，然后就给出了现今普遍釆用的极限定义：

如果给定任何一个正数ε，都存在一个正数δ使得对于区间

内的所有ｘ都有

则f(x)在x=x_0处有极限Ｌ。

可见，魏尔斯特拉斯的极限概念是以实数的算术理论为基础的，因而数学家们就必须着手构造合适的实数理论了。

德国数学家康托在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到了无穷集合的重要性，并开始从事一般集合理论的研究。康托通过深入的研究，创立了一般的集合理论，也就是“康托集合论”。然而，该理论中却包含了当时令众多数学家非常震惊而又无法接受的“超限基数”和“超限序数”理论。

以康托集合论为基础，戴德金在《数的性质与意义》中提出了他的整数理论。之后的皮亚诺又利用戴德金的成果，并结合流行的公理化方法，在《算术原理新方法》中给出了比前者更为简单的整数理论。在整数理论的基础上，有理数和实数理论也相继出现。

同样在那个年代，非欧几何的创立标志着古老的几何学也开启了前所未有的发展历程。尽管高斯在1820年左右就己经获取了许多非欧几何的定理，甚至也表示相信非欧几何的一致性，但最先发表非欧几何著作的却是罗巴切夫斯。高斯、罗巴切夫斯等人研究的非欧几何是“罗氏几何”，也称“双曲线几何”；黎曼等人则研宄了另一种非欧几何一一“黎曼几何”，也称“椭圆几何”。

另外，数学家们通过研究得出了欧氏几何与非欧几何之间可以通过合适的模型相互转化的结论。既然如此，非欧几何的一致性问题也就可以转化为欧氏几何的一致性问题了。然而，通过证明欧氏几何的一致性来给出非欧几何一致性证明的方法最多只能证明非欧几何的“相对”一致性。因此，人们就不得不求助于由笛卡尔、费马等人建立并发展起来的解析几何把欧氏几何的一致性问题先转化为算术理论的一致性问题、再转化为实数理论的一致性问题，并最终转化为康托集合论的一致性问题。

可见，康托集合论对当时的分析与几何，进而对当时的整个数学都起了一种至关重要的奠基作用。但不幸的是，集合论悖论的发现却暴露出康托集合论自身所潜藏的巨大困难，这使得貌似己经稳固的数学基础又一次陷入了危机。集合论悖论主要指“布拉里－福蒂悖论”、“康托悖论”和“罗素悖论”。其中，罗素悖论可以用如下的方式表述：

我们把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，凡是以自身作为元素的集合称为异常集。每个集合或者为正常集或者为异常集。设Ｓ为全体正常集所组成的集合，那么Ｓ是正常集还是异常集？如果Ｓ是正常集，那么由正常集的定义知Ｓ不是Ｓ自身的元素；但由于Ｓ为全体正常集所组成的集合，正常集都是Ｓ的元素且Ｓ是正常集，因而Ｓ又应是Ｓ的元素，这导致矛盾。如果Ｓ是异常集，那么由异常集的定义知Ｓ是Ｓ自身的元素，但是根据Ｓ的定义，它是全体正常集组成的集合，因而异常集Ｓ又不应该是Ｓ的元素，这又导致矛盾。也就是说，不论Ｓ是正常集还是异常集，都将导致矛盾。

以罗素悖论为代表的集合论悖论表明康托集合论自身就是不一致的。这导致了数学家们不得不开始严肃地思考一些更深层次的问题，比如“集合论悖论的根源何在”、“本身就不一致的康托集合论是否还有资格作为整个数学的可靠基础”等。

康托集合论之后还出现了“公理集合论”。它的创立者策墨罗提出人们只要把康托集合论中的集合限制在“安全类”就足以避免集合论悖论了，这里的安全类首先就包含了空类、任何一个有限类和自然数类，以及通过“联合”己有安全类等方式所形成的类。（当然，对安全类“求余”的方式未必能形成安全类）

之后的弗兰克尔、冯诺依曼等人遵循上述基本思想完善和发展了公理集合论。虽然该理论足以排除已知的集合论悖论，但它自身的一致性问题还没有得到根本的解决，可能如彭加莱所说的那样

为了防备狼，羊群己用篱笆圈起来了，但却不知道在圈内有没有狼。

让我们再回到康托集合论那里。一方面，一部分数学家极力反对它，比如克罗内克、彭加莱就分别把康托集合论当作“神秘主义”和有趣的“病理学的情形”。

另一方面，又有一部分数学家极力维护康托集合论，比如希尔伯特，他赞美它是“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，因而他声称：

没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶出去。

通过仔细阅读上述反对方的相关文献，我们就会发现他们所提出的根本理由不是纯技术的，因为这些理由己经触及到纯技术背后那个更深层次的哲学层面了（和数学相关的）。对数学这个层面的探讨就构成了哲学的一个分支一一数学哲学。它主要探讨数学的真理性、数学本体论、数学认识论等深层次的问题。

关于数学哲学与数学基础的关系，数学家们大致可以持以下三种不同的观点。

第一种是“数学哲学在先的观点：数学哲学为包括数学基础在内的一切数学实践提供“第一原则”，从而决定了什么才是正确的数学实践，因而数学哲学就是包括数学基础在内的一切数学实践的基础。上面所提到的那些反对康托集合论的数学家显然都持这种观点。

反对上述观点的数学家或许会极端地认为：数学的任何实践都同数学哲学没有关系，因而从事数学基础工作的人完全无需关注数学哲学。这可以看作数学家处理数学哲学与数学基础关系问题上的第二种观点。

实际上，大部分数学家在从事数学实践时，的确不怎么关注包括数学哲学在内的一切哲学，虽然我们也不能否认他们中的一部分人会在业余时间里认真思考数学哲学，甚至思考其它哲学问题。

当然，对数学哲学的关注并不意味着非要把某种数学哲学作为第一原则来对待。于是，数学家们就有可能持有第三种比较温和的观点：

在数学基础工作中，数学哲学的首要任务就在于为数学基础提供一致的说明。当然，它或许还能给人们一些灵感和启发。哥德尔就是一个明显的例子。他承认柏拉图主义思想对他发现不完全性定理具有某些启发作用。更重要的是，柏拉图主义还为“最小上界”等非直谓定义提供了一致的说明，并指出它们并非恶性循环。可是，他没有在第一原则，先于实践的立场上论证柏拉图主义。

对于从事数学基础工作的人来说，第二种观点肯定是不可取的，因为思考相关的数学哲学问题对于数学基础工作是不可避免的。一方面，对于数学基础问题的研究极其容易导向对数学哲学问题的思考，因为众多对数学基础的定义本身就直接牵涉到了数学哲学。

另一方面，数学史己经表明凡在数学基础领域内有过突出贡献的数学家都有着非常深刻的数学哲学思想。对于其中那些持“数学哲学在先”观点的数学家来说，我们显然不能无视他们的数学哲学思想而孤立地理解、批判其数学基础工作。对于其中剩下的那些数学家，对他们数学哲学思想的理解也时常有助于理解其数学基础工作。更重要的是，为了理解、批判上述数学家之间在数学基础领域内的“斗争”，我们就必须把握他们各自的数学哲学思想，因为这类“斗争”的最终战场就在于这个层面。

第三种观点对数学哲学的要求显然就己经包含在第一种观点对数学哲学的要求中了。然而，如果某种数学哲学非但不能给相应的数学基础工作提供一致的说明，甚至还与之发生矛盾，那么持第一种观点的人一定会立即修改数学，而持第三种观点的人则会立即抛弃这种数学哲学。

例如，对于达米特数学哲学中意义理论的接受，会导致我们必须拒斥经典数学中广泛使用的排中律，那么持第三种观点的人就一定会毫不犹豫地拒绝该意义理论，因为他们会认为：

…如果要求改变数学，那么达米特关于语言的那些论证必定是错误的。这是一个用不着回答的疑问句：作为实践的数学和达米特的语言哲学，哪一个更安全，更像是真的？更为中立地陈述这件事情：达米特论证说当代数学没有享有某种类型的辩护。一个反对修正主义的人可能会同意这一点，但会马上加一句说，数学不需要这种辩护。

可见，能否为数学基础提供一致的说明就成了他们对各种数学哲学进行取舍的标准，而数学是否要修改则完全不受数学哲学的影响，其修改的理由只能来自于数学本身。

然而，数学史上的许多重大变革都源自于科学技术的需要。既然科学技术可以作为修改数学的理由，那么己获得充分辩护的某种数学哲学为什么不可以呢？因此，全然否定这种可能性的第三种观点是不可取的，而第一种观点则是不全面的，因为修改的理由不仅限于数学哲学。