牛顿的《原理》打开了自然数学研究的大门，欧洲大陆的同行们将牛顿关于自然规律的思想推广到大多数物理科学领域。继波动方程（从小提琴中振动出的波动方程，成了支撑现代科技的基础理论之一​）之后，又陆续出现了很多其他的“重力方程”，如静电方程、弹性方程和热流方程。

许多方程都以其发明者的名字命名：如拉普拉斯方程，泊松方程。热方程则不然，这个名字既缺乏想象力又不准确。热方程是由约瑟夫·傅里叶引入的，他的思想导致了一个新的数学领域的诞生，这个领域的分支远远超出了它的原始来源。

1807年，傅里叶向法国科学院提交了一篇关于热流的文章，该文章基于一个新的偏微分方程：

这里假设金属棒是无限薄的，热扩散率α是常数，u(x, t)是在金属棒的x位置和时间t处的温度。所以它应该叫作温度方程。他得出了一个更高维度的版本，

其中▽是拉普拉斯算子，

就是

热方程与波动方程有着不可思议的相似之处，但有一个关键的区别。波动方程使用二阶时间导数

但在热方程中，它被一阶时间导数∂u/∂t所取代。这个变化可能看起来很小，但它的物理意义是巨大的。热并不会像小提琴弦的振动那样无限期地持续下去（根据波动方程，假设没有摩擦或其他阻尼）。相反，随着时间的流逝，热量会消散，除非有热源能将其加热。所以一个典型的问题是：加热一根棒子的一端以保持其温度稳定，冷却另一端以达到同样的效果，当金属棒的（温度）状态稳定下来时，温度是如何沿着棒子变化的？答案是它呈指数下降。

另一个问题是：确定沿金属棒的初始温度分布之后，如何确定温度随时间变化。也许左半部分开始时温度较高，右半部分开始时温度较低。这个方程告诉我们热量是如何从热的部分扩散到冷的部分的。

热方程是线性的，所以我们可以叠加解。如果初始条件为

那么解是

但像这样的初始条件有点不真实。为了解决我之前提到的问题，我们需要这样一个初始条件，其中一半金属棒的u(x, 0) = 1，另一半是u(x, 0) =−1。这种初始条件是不连续的，在工程术语中称为方波。但正弦和余弦曲线是连续的。所以正弦和余弦曲线的叠加不能表示方波。

但是，如果允许无限项叠加呢？我们可以试着把初始条件表示成无穷级数的形式

现在看来确实有可能得到方波。事实上，大多数系数都可以设为零，只需要n为奇数的b_n项。

如何从正弦和余弦中得到方波。左：正弦波分量。右：它们的和和一个方波。这里展示了傅里叶级数的前几项。附加的项使方波的近似值更准确。

傅里叶甚至以积分的形式给出了表示一般条件f(x)的系数a_n和b_n的一般公式，

在对三角函数的幂级数的展开进行了漫长的探索之后，他意识到有一种更简单的方法来推导这些公式。如果取两个不同的三角函数（比如cos2x和sin5x），把它们相乘，然后从0到2π积分，结果是0。但是如果它们相等，假设它们都等于sin5x，它们乘积的积分就不为零（它是π）。假设f(x)是一个三角级数的和，所有的项都乘以sin5x，然后积分，所有的项都消失了，除了对应sin5x的项，也就是b_5sin5x。这里的积分是π。除以这个，就得到了b_5的傅里叶公式，其他系数也是一样的。

尽管获得了诺贝尔奖，但傅里叶被严厉批评不够严谨。傅里叶被激怒了。物理直觉告诉他，他是对的。真正的问题是，欧拉和伯努利已经就波动方程的一个类似问题争论了很长时间，热量随时间呈指数扩散被无穷的正弦振幅所取代。基本的数学问题是相同的。事实上，欧拉已经发表了波动方程中系数的积分公式。

然而，欧拉从未声称该公式适用于不连续函数，这是傅里叶研究中最具争议的地方。小提琴弦模型没有包含不连续的初始条件。但是对于热量来说，很自然地可以考虑将一个金属棒的一个区域保持在一个温度，而将相邻区域保持在另一个温度。在实际应用中，过渡过程是平滑且陡峭的，但采用不连续模型比较合理，计算起来也比较方便。事实上，热方程的解解释了为什么当热量向两边扩散时，过渡会迅速变得平滑和陡峭。

数学家们开始意识到无穷级数是“危险的野兽”。最终，这些复杂的问题得到了解决。1822年，傅里叶出版了他的著作《热分析理论》。

我们现在知道，尽管傅里叶是正确的，但他的批评者有充分的理由担心其严谨性。傅里叶分析很好，但仍有一些问题。

问题是，傅里叶级数何时收敛于它所代表的函数？也就是说，如果取越来越多的项，函数的近似值会更好吗？就连傅里叶也知道答案并非总是如此。例如，在温度跳跃的中点，方波的傅里叶级数收敛——但收敛到错误的数值0，但方波的值为1。

对于大多数物理问题来说，改变函数在一个孤立点上的值并没有太大的关系。它只是在不连续点稍有不同。对傅里叶来说，这类问题并不重要。但是收敛问题不能如此轻率地忽略，因为函数的不连续性可能比方波复杂得多。

然而，傅里叶声称他的方法适用于任何函数，所以它应该适用于这样的函数：当x是有理数时f(x) = 0，当x是无理数时f(x) = 1。这个函数处处不连续。对于这样的函数，当时，积分的含义还不清楚。这就是争议的真正原因。没有人定义过积分是什么。甚至没有人定义过函数是什么。即使你能把这些漏洞补上，这也不仅仅是傅里叶级数是否收敛的问题。真正的困难是要弄清楚它在什么意义上是收敛的。

解决这些问题很棘手：

它需要一个新的积分理论，由亨利·勒贝格提出；

从集合论的角度重新构建数学的基础，由乔治·康托尔开创；

从黎曼等杰出人物那里获得了重要的见解，运用了20世纪的抽象概念来解决收敛问题。

最终的结论是，通过正确的解释，傅里叶确实解出了热方程。但它真正的意义要广泛得多，除了纯数学之外，主要的受益者不是热力学，而是工程学，特别是电子工程。

在最一般的形式中，傅里叶方法表示一个信号，由函数f决定。这叫做波的傅里叶变换。它用频谱来代替原始信号：这是一组正弦和余弦的振幅和频率，用不同的方式对相同的信息进行编码。

这种技术的一个应用是设计抗震建筑物。典型地震所产生的振动的傅里叶变换揭示了地震的能量频率。建筑物有它自己的固有振动模式，它会与地震发生共振，也就是说，反应异常强烈。因此，建筑抗震的第一步是确保建筑的首选频率与地震的频率不同。地震的频率可以通过观测得到；而建筑物的频率可以用计算机模型计算出来。

这只是傅里叶变换在“幕后”影响我们生活的诸多方面之一。傅里叶变换已经成为科学和工程中的常规工具；它的应用包括从声音记录中去除噪音；利用x射线衍射发现DNA等大型生物化学分子的结构；改善无线电接收，处理从空中拍摄的照片。在这里，我只关注数千种日常应用中的一种：图像处理。

傅里叶变换是如何处理图片，并且不影响图片的清晰度的？

答案是数据压缩。其中一些处理是“无损的”，这意味着如果需要，可以从压缩版本中检索原始信息。这是必要的，因为大多数真实世界的图像都包含冗余信息。例如，大块的天空通常都是相同的蓝色。不需要一遍又一遍地重复蓝色像素的颜色和亮度信息，这样就可以存储一个矩形的两个对角的坐标和几行简短的代码（将整个区域涂成蓝色）。

人眼对图像的某些特征不是特别敏感，而这些特征可以在大多数人都没有注意到的情况下以更粗的尺度记录下来。以这种方式压缩信息很容易，但不可逆（信息丢失）。

有些相机把图像保存为JPEG文件，它表示使用了一种特定的数据压缩系统。用于处理和打印照片的软件，如Photoshop，能够解码JPEG格式并将数据转换回图片。我们经常使用JPEG文件，很少有人知道它们被压缩了，更少的人想知道这是怎么做到的。

傅里叶分析已经成为工程师和科学家必备技术，但对于某些目的，这项技术有一个主要的缺点：正弦和余弦有无穷项。当傅里叶的方法试图表示一个紧凑的信号时，它遇到了问题。它需要大量的正弦和余弦来模拟一个局部的光点。问题不在于得到光点的基本形状，而是让光点之外的一切都等于零。你要做的是添加更多的高频正弦和余弦来抵消不需要的信号。所以傅里叶变换对于光点信号是没有用的：变换后的信号比原始信号更复杂，需要更多的数据来描述它。

选择正弦和余弦是因为它们满足一个简单的条件。形式上，这意味着它们是正交的。将两个基本正弦波形相乘，并在一个周期内积分，可以衡量它们之间的关系有多密切。如果这个数很大，它们就非常相似；如果它是零（正交的条件），它们就是独立的。

傅立叶分析之所以有效，是因为它的基本波形既正交又完整，而且如果适当地叠加，它们足以表示任何信号。实际上，它们在所有信号的空间中提供了一个坐标系统，就像普通空间中的三维坐标系统一样。主要的新特性是现在有无限多个轴：每个基本波形都有一个轴。一旦你习惯了，在数学上就没有问题。

不难发现，在无限维的信号空间中，存在着不同于傅里叶的坐标系。在整个领域中最重要的发现之一是一种新的坐标系统，其中基本波形被限制在一个有限的空间区域内。它们被称为小波，可以非常有效地表示光点，因为它们就是光点。小波的光点特征使其特别适合于压缩图像。它们最早的大规模实际应用之一是存储指纹。此外，小波在医学成像方面也有许多应用。事实上，小波几乎无处不在。地球物理学和电气工程等领域的研究人员都将这些技术应用到自己的领域。