在数学中，一个代数结构由一个非空集A（称为基础集）、对A的操作的集合（通常是加法和乘法等二元操作）和一个有限的恒等式集（称为公理）组成，这些操作必须满足这些恒等式。

数，最好是不看成个别的对象，而是看作数系的元素。数系里面包含了一些对象（即数），以及施加于它们的一些运算（如加法和乘法）。这样，数系就是一个代数结构。然而，还有许多不是数系的重要的代数结构。

群

若S是一个几何图形，S上的一个刚性运动，就是一种移动S的方式，使得在此运动中，S的任意两点的距离不变（就是不允许挤压和拉伸）。如果在一个刚性运动以后，S的形状不变，就说这个刚性运动是S的一个对称。举例来说，设S是一个等边三角形，让S绕它的中心旋转120°，这个旋转就是一个对称；S对于经过其一个顶点与该点对边中点的直线作反射，这也是一个对称。

更形式地说，S的一个对称就是一个由S到其自身的函数f，使得S的任意两点x与y的距离与变换后的两点f（x）与f（y）的距离相同。

这个思想可以大大地推广∶如果S是任意的数学结构，S的对称就是一个由S 到其自身的保持这个结构的函数。由于有这样的广泛性，对称在数学里面就是一个渗透到各处的概念∶只要哪里有了对称出现，群的概念就会紧紧地跟上来。

为什么会这样？令f是顶点为 A，B，C的等边三角形，设它的边长为1。这时，f（A），f（B），f（C）就是此三角形中的三个点，这个三角形中任意两点的最远距离是1。不难看到，一旦选定了f（A），f（B），f（C），则三角形内任意点处f的值也就完全确定了。

例如，设X是A，C两点的中点，f（X）也就一定是f（A）和f（C）的中点。

让我们写出 A，B，C三点在变换以后的次序，由此来记这些对称。所以，举例来说，对称ACB就是保持A点不动，而令B，C交换位置的对称，只要把三角形对于过 A 和 B，C 中点的连线作反射，就可以得到这个对称。一共有3个这样的对称∶ACB，CBA，BAC，还有两个旋转BCA，CAB。最后还有一个"平凡的"对称ABC，它让所有的点都不动（这个“平凡的”对称的用处，恰好和零在整数加法的代数里的作用一样）。

使得对称的这一个集合成为群的，是任意两个对称可以互相复合，意思是一个对称以后再跟着一个对称就会产生第三个对称。例如，如果在反射 BAC 后面再来一个反射ACB，就会得到一个旋转CAB。要但是注意，进行对称的次序是有关系的∶如果是先作反射 ACB，再作 BAC，就会得到旋转 BCA。

我们把对称本身也看成“对象”。而把复合看成是对于这些对象的代数运算，有点像加法和乘法之于数一样。这个运算有下面的有用的性质∶

它是结合的，

平凡对称是恒等元，

而每一个对称都有逆。

更一般地说，任何一个带有一个二元运算的集合，若此运算有以上的性质，就叫做一个群。

至于这个运算是否可交换，这并不是群的定义的一部分，因为如我们刚才所看见的，复合两个对称时，哪一个在先，哪一个在后是有区别的。然而，如果这个二元运算是可交换的，这个群就成为阿贝尔群。数系Z，Q，R，C对于加法都是阿贝尔群，或者用我们常用的说法，它们在加法下成为阿贝尔群。如果把零从Q，R，C中除去，它们在乘法下也是阿贝尔群，但是Z并不是，因为缺少逆元∶整数的倒数，一般并不是整数。

域

在数学中，域是一组定义加减乘除运算的集合，其行为如同对有理数和实数的相应运算。因此，域是一种基本的代数结构，广泛应用于代数、数论和许多其他数学领域。最有名的域是有理数域，实数域和复数域。许多其他域，如有理函数域、代数函数域和代数数域是数学中常用和研究的域，特别是数论和代数几何。

两个域之间的关系用域扩展的概念表示。伽罗瓦理论，致力于理解域扩展的对称性。这个理论表明，角的三分和化圆为方不能用圆规和直尺完成。此外，它表明五次方程一般是代数不可解的。

域（Field）在交换环的基础上，增加了二元运算除法，要求元素（除零以外）可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除（除0以外）的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元（1/3不是整数），所以整数集合不是域。

虽然好几个数域都是群，但是只把它们看成群就是忽略了其代数结构的很大一部分。特别是，群里面只有一个二元运算，标准的数系却有两个，即加法和乘法（由此还可以得到其他附加的运算，如减法和除法）。域的形式定义很长，它是一个具有两个二元运算的集合，还有几个这些运算必须满足的公理。有一个好办法来记忆这些公理。先把数系Q，R和C中的加法和乘法所满足的性质写出来。

这些性质如下：

加法和乘法都是可交换的以及结合的，二者都有恒等元（对于加法是0，对于乘法是1）。

每个元素 x 都有加法逆 -x 和乘法逆1/x（但是0 没有乘法逆）。正是由于这些逆元的存在，使得我们能够定义减法和除法∶x-g意思就是x＋（-y），而x/y则是x·（1/y）。

这就覆盖了加法和乘法单独具有的全部性质。但是在定义数学结构时，有一个很一般的原理∶如果一个数学定义可以分成几个部分，则除非这些部分可以相互作用，否则这个定义是没有什么意思的。现在加法和乘法就是这两个部分，而迄今所讲到的性质并未把它们以某种方式连接起来。

但是最后还有一个性质，即分配律，做到了这一点，从而完成了对于域的性质的刻画。这就是把括号乘开来的规则∶对于域中的任意三个元x，y和z，有x（y＋z）=xy＋xz。

在列出了这些性质以后，可以抽象地来看待整个情况，并把这些性质看作公理，于是我们说∶域就是具有两种二元运算的集合，这些运算需适合以上全部公理。但是，当我们在域中从事研究时，通常并不是把这些性质看成公理的清单，而是看作一个许可证∶允许我们在其中做有理数域、实数域和复数域中的所有代数运算。

很清楚，公理越多，寻找满足它们的数学结构就越难，遇到域的情况比遇到群的情况更少见一些。因此，理解域的最好的办法可能莫过于集中注意于例子。除了Q，R和C以外还有一个域跳了出来，成为域的一个基本的例子，它就是整数 mod p（这里p是一个素数）所成的集合 F_p，其中的加法和乘法都是 mod p 来定义的。

使得域有意义的其实还不在于存在这些基本的例子，而在于有一个重要的过程与域有关，这个过程称为域的扩张，它使我们能够从原来的域构造出新的域来。这里的思想是∶先已有了一个域F，找一个多项式P使它的根不在F中，然后把一个新的元素“附加”到F上，规定这个新元素是P的不在F中的根。用这个根和F中的元素通过一切可能的加法和乘法做出新的式子来，这些式子就构成了一个新的域F'。称为F的扩张。

我们看一下域R的扩张过程的一个例子。多项式

在R中没有根，于是我们把i附加到R上去，得到了所有形如a＋bi，（a，b∈R）的式子，这样就得到了复数域C。

我们也可以把这个过程用于F_3，P（x）=x^2＋1在其中也没有根。这样，也会得到一个新的域，它和C一样，也是形如a＋bi的复合所成的一个集合，但是现在的 a 和 b都是F_3的元素。因为 F_3中只有3个元，所以现在的新域只有9个元素。再一个例子是

它是

这样的数的集合，a和b是有理数。

Q（γ）是一个稍微复杂的例子，这里γ是多项式 x^3-x-1的根。 这个域的典型的元素就是形如 a＋by＋cγ^2的式子，而a，b和c是有理数。如果我们在Q（γ）中做算术，则见到γ^3就要把它换成γ＋1（因为γ^3-γ-1=0），正如在复数域中见到i^2就要换成-1一样。为什么域的扩张很重要？以后讨论。

引进域的第二个非常值得注意的地方是，它们可以用来构成向量空间。

向量空间

表示平面上一个点的最方便的方法之一是使用笛卡儿坐标。选一个原点互相成直角的方向 X，Y。如果从原点出发，沿方向 X走过距离 a，再从这一点继续沿方向Y走过距离b，那么（a，b）这一对数就表示所达到的平面上的点。

同是这件事换一个说法是∶令x和y表示X和Y方向的单位向量，它们的笛卡儿坐标分别是（1，0）和（0，1）。这时，平面上的每一个点都是基底向量x和y的线性组合 ax＋by。

下面是线性组合出现的另一个情况。一个（线性）微分方程

知道了y=sinx和y=cosx是两个可能的解，则容易验证，对于任意的数a和b，y=asinx+bcosx也是解。就是说，已经存在的解sinx 和 cosx 的任意线性组合仍然是解。结果会得出，所有的解都是这种形式，所以我们把 sinx 和 cosx 也看成这个微分方程的解"空间"的"基底向量"。

线性组合出现在整个数学的许多情况下。再给一个例子，任意的3次多项式的形式都是

它是四个基底多项式1，x，x^2，x^3的线性组合。

向量空间就是一个线性组合概念在其中有意义的数学结构。属于此向量空间的对象，除非我们在讨论一个特定的例子，或者把它想作一个具体的对象，如多项式或线性微分方程的解的时候，通常就称为向量。稍微形式化一点，一个向量空间就是一个集合V，使得对其中任意两个向量（即V的元素）w和w，以及任意两个实数a和b，都可以构成其线性组合av＋bw。

注意，线性组合涉及两个不同类的对象，一类是向量v和w，另一类是数a和b。后者称为标量。构造线性组合的运算可以分成两个组成部分，即加法以及乘以标量。为了构造出 av＋bw，先要用标量a和b去乘向量v和 w，分别得出向量av和bw，再把所得的向量加起来，得出完全的线性组合av＋bw。

线性组合的定义必须服从一些自然的规则。下列的相加要是可交换的和结合的，就有恒等元（称为零向量）。对于每一个向量v，又必须有逆元（记作-v）。乘以标量也要服从某种结合律，即 a（bv），（ab）v 必须恒相等。我们也需要两个分配律，即对任意的标量a，b和任意的向量v，w均有（a＋b）g=av＋bv，以及a（v＋w）=av＋aw。

给定了一个向量空间V以后，所谓它的基底无非就是具有以下性质的一组向量∶v_1，V_2，…，V_n，而V的任意元素，即任意向量都可以用唯一的方式写成它们的一个线性组合

可能有两种情况使得这件事失败∶一是可能有某个向量不能写成 v_1，V_2，…，V_n的线性组合，二是可能有一个向量虽然可以写成这种线性组合，但是写法不止一种。如果V的所有向量都可以写成v_1，V_2，…，V_n的线性组合，就说v_1，V_2，…，V_n张成了整个空间 V。如果没有哪一个向量能以多于一种方式写成它们的线性组合，就说v_1，V_2，…，V_n 是独立的。一个等价的定义是∶v_1，V_2，…，V_n是独立的，如果把零向量写成

的方法只能是取

基底中元素的个数称为V的维数（简称维）。一个向量空间不会有两个大小不同的基底，这一点并非显然，但是可以证明确实不会有，所以维的概念才有意义。对于平面，前面说到的向量x和y构成了一个基底，所以平面的维数是2。

最明显的n维向量空间就是由n个实数所成的序列（x_1，x_2，…，x_n）的空间。如果要把序列（y_1，y_2，…，y_n）加到它上面去，只需构造序列（x_1+y_1，x_2+y_2，…，x_n＋y_n）即可，要用标量c去乘它，只需作（cx_1，cx_2，…，cx_n）即可，这个向量空间记作

基底中的向量的个数并不一定是有限数。一个没有有限基底的向量空间称为无限维的。许多最重要的向量空间，特别是“向量”为函数的向量空间，常是无限维的。

关于标量，还有最后一个说明。在前面标量是定义为构造向量的线性组合时所用的实数。真正重要的是它们必须属于一个域，所以Q，R 和C都可以用作标量的系统，说真的，更一般的域也是可以的。如果一个向量空间V的标量来自域F，就说V是域F上的向量空间。这个推广重要而且有用。

环

另一个非常重要的代数结构是环。环对于数学并不如群、域或向量空间那样处于中心地位。粗略地说，环就是具有域的几乎所有的但不是所有性质的代数结构。特别是对于乘法运算，环就不如域要求得那么严格，最重要的放松之处是，不要求环中的非零元具有乘法逆，而且有时环的乘法不一定是可交换的。如果它是，这个环就叫做可换环——可换环的典型例子就是所有整数的集合Z，另一个例子是系数在某个域F中的多项式的集合。