阳光下的数学论战

大科学家牛顿，不仅创立了经典力学体系，而且对微积分学的创立作出了不朽的贡献。由于微积分在创立初期还不完善，立即遭到了攻击，由此引发了数学史上著名的第二次数学危机。

第一次危机发生在古希腊时期，是一场由无理数的发现而引起的数学危机。第三次危机发生在 20 世纪初，是一场由集合论的悖论的发现而引起的数学危机。第二次数学危机是 1734 年由英国唯心主义哲学家贝克莱的发难而引起的。

牛顿等科学家的科学成就给上帝带来了灾难，因此正统神学家不断地寻找机会向自然科学家发出咆哮。英国神学家贝克莱为维护上帝的尊严，终于在牛顿的《自然哲学的数学原理》中找到了突破口。

贝克莱抓住了牛顿在无穷小量的表述上的混乱以及在此基础上运用流数法的矛盾，对流数进行猛烈抨击。他说： “这些流数是什么？” “是渐近于零的增量的速度。那么这些相同的渐近于零的增量又是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小量，可也不是虚无。难道可以把它们称为死去的量的幽灵吗？”由于贝克莱在对微积分的攻击中，揭开了微积分的内在矛盾，微积分陷入理论危机中，由此而引发了第二次数学危机。

牛顿和莱布尼茨虽然发现了微积分的基本原理和主要方法，但对于微积分的基本概念无穷小量，缺乏严格的数学定义。时而说无穷小量是零，时而说又不是零；时而说无穷小量消逝为零，时而说又趋向于零，因此缺乏严密的数学理论基础。贝克莱的攻击，立即激起一些数学家的反击。英国数学家朱允就在 1734年发表公开的批驳信，并对牛顿的流数作了解释。

英国另一个著名的数学家马克劳林也参加了反击贝克莱的论战。1698 年 2 月，马克劳林生于苏格兰，虽然半岁丧父， 9 岁丧母，却是一个神童， 11 岁考入格拉斯哥大学，先学神学，一年后转攻数学。 19 岁便担任阿伯丁大学的数学教授， 21 岁被选为英国皇家学会会员。同一年，马克劳林发表了第一本重要著作《构造几何》，描述了作圆锥曲线的一些新的方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。

马克劳林对牛顿敬仰备至，是他的忠实信徒，为继承，捍卫和发展牛顿的学说而奋斗，为了答复贝克莱对牛顿微积分原理的攻击，在 1742 年出版了《流数论》。此书以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。马克劳林还企图为流数法提供一个几何框架，建立严密的微积分理论。马克劳林在书中提出了著名的马克劳林级数，并应用它导出局部极大值和极小值存在的充分条件。还首先给出如何区别一般极大极小的理论，并指出这种区别在曲线多重点理论中的重要性。他还证明了等速旋转均匀流体的平衡形状是旋转椭圆体，现在称之为马克劳林椭圆体。

马克劳林的《流数论》相当审慎周到，一直是比较严密的微积分标准教材，直到 1821 年法国著名数学家柯西的著作问世。由于历史条件的限制，马克劳林没有能够从根本上结束微积分在数学理论基础方面发生的危机。这一危机直到 19 世纪初由柯西克服。然而第二次数学危机却激起数学家们不断地去探索和研究，回击贝克莱之流的攻击，建立科学的微积分数学理论基础，从而推动了数学的发展。

18 世纪的数学大师——欧拉，就是杰出的代表。