挂谷猜想是几何测度论和调和分析中的一个重要问题，主要探讨包含所有方向单位线段的集合（称为挂谷集）的维数特性。以下是其关键点：
1. **起源**：由日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）于1917年提出，原问题为：在平面上，能够使单位线段在其中连续旋转180度的区域的最小面积是多少？起初猜测最小面积为\(\frac{\pi}{8}\)（对应半圆盘），但贝西科维奇（Besicovitch）在1928年证明了存在面积任意小的挂谷集（即测度为零）。
2. **高维推广**：问题被推广到\(n\)维空间，研究挂谷集的维数和测度性质。核心猜想为：在\(n\)维空间中，任何挂谷集必须具有豪斯多夫维数\(n\)（即最大可能的维数）。
3. **当前进展**：
- **二维**：贝西科维奇集的存在表明平面挂谷集可具有零面积，但豪斯多夫维数为2，符合猜想。
- **高维**：对于\(n \geq 3\)，猜想尚未完全解决。例如，在三维空间中，已知挂谷集的豪斯多夫维数至少为\(\frac{5}{2}\)（由Katz和Tao于2000年证明）。一般情形下，最佳下界约为\((2-\sqrt{2})(n-4)+3\)，离目标\(n\)仍有差距。
4. **关联领域**：该猜想与调和分析中的限制性估计、波包理论及傅里叶分析密切相关，其解决将推动相关数学工具的发展。
**结论**：挂谷猜想断言\(n\)维空间中挂谷集的豪斯多夫维数必须为\(n\)。尽管二维情形已解决，高维情形仍是未解难题，吸引着众多数学家的深入研究。
