数学知识之5个初等函数性质解析(十一)
主要内容
通过抽象函数换元、函数代换法，介绍已知f(x)+3f(-x)=x,求函数f(x)表达式的具体步骤。
思路一：抽象函数换元
设-x=t,则x=-t，代入已知条件得：
f(-t)+3f(t)=-t,
3f(t)+f(-t)=-t,
由于函数自变量可以用任意符号表示，
同时连立已知条件，得方程组：
3f(x)+f(-x)=-x……(1)
f(x)+3f(-x)=x……(2)
方程(1)*3-(2)，得：
(9-1)f(x)=-3x-x,
(3-1)f(x)=-x，
所以f(x)=-x/2。
思路二:函数代换法
设f(x)=mx+n,则：
f(-x)=-mx+n,代入已知条件得：
(mx+n)-3mx+n=x
(-2m-1)x+2n=0,
方程对任意的x都成立，则：
-2m-1=0,且2n=0。
即：m=-1/2,n=0,
所以f(x)=-x/2。
※.函数的定义域
根据根式和分式定义要求有：
(2x+1)/(2x-1)≥0且2x-1≠0；
即：-∞＜x≤-1/2，1/2＜x≤+∞，
则函数的定义域为：(-∞，-1/2]，(1/2，+∞）。
※.函数的定义域
∵y=√(2x+1)/(2x-1),
∴y'=(1/2)*[(2x+1)/(2x-1)]-1/2*[2(2x-1)-2(2x+1)]/(2x-1)^2,即：
y'=(-1/2)*[(2x+1)/(2x-1)]-1/2*4/(2x-1)^2,
y'=-2*[(2x+1)/(2x-1)^3]-1/2<0，
则函数y在定义域上为减函数。
※.函数的凸凹性
∵y'=-2*[(2x+1)/(2x-1)^3]-1/2，
∴y''=-[(2x+1)/(2x-1)^3]-3/2*[2(2x-1)^3-6(2x+1)(2x-1)^2]/(2x-1)^6,
即y''=-[(2x+1)/(2x-1)^3]-3/2*[2(2x-1)-6(2x+1)]/(2x-1)^4,
=[(2x+1)/(2x-1)^3]-3/2*(8x+8)/(2x-1)^4,
令y''=0，则8x+8=0，即x=-1.
则函数的凸凹性即凸凹区间如下：
(1).当x∈(-∞，-1]时，y''≤0，此时函数y为凸函数；
(2).当x∈(-1,-1/2]，(1/2，+∞）时，y''≥0，此时函数y为凹函数。
※.函数的极限
lim(x→1/2) √(2x+1)/(2x-1)=+∞；
lim(x→-1/2) √(2x+1)/(2x-1)=0；
lim(x→-∞) √(2x+1)/(2x-1)=1；
lim(x→+∞) √(2x+1)/(2x-1)=1.
主要内容：
通过去绝对值讨论方法，介绍求解绝对值方程y=2x^2+10|x|的单调性及单调区间的主要步骤。
主要步骤：
解：1.当x≥0时，|x|=x,代入得：
y=2x^2+10|x|=2x^2+10x,
对称轴x=-10/2=-5<0,在y轴的左边。
此时二次方程开口向上，则有：
当x∈[0,+∞)时，函数y为增函数，
该区间为二次函数的增区间。
2.当x＜0时，|x|=-x,代入得：
y=2x^2+10|x|=2x²-10x,
对称轴x=-=5/2>0,在y轴右边。
此时二次方程开口向上，则有：
当x∈(-∞，0)时，函数y为减函数，
该区间为二次函数的减区间。
主要内容：
本文主要介绍的定义域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等性质，并通过导数知识计算函数y=log2(x²+3)的单调增区间和单调减区间。
函数定义域：
根据对数函数的定义域要求，函数的真数部分为非负数，即要求：
x²+3>0，根据该不等式的特征，可知不等式恒成立，即
函数y的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。
函数单调性：
y=log2(x²+3),
dy/dx=d(x²+3)/[ln2(x²+3)],
dy/dx =2x/[ln2(x²+3)],令dy/dx=0,则：x=0,即有：
(1)当x∈[0,+∞)时，dy/dx≥0，此时函数单调递增，区间为增区间；
(2)当x∈(-∞,0)时，dy/dx＜0，此时函数单调递减，区间为减区间。
函数凸凹性：
dy/dx =2x/[ln2 (x²+3)],
d²y/dx²=(2/ln2)*[(x²+3)-x*2x]/(x²+3)²,
d²y/dx²=(2/ln2)*(3-x²)/(x²+3)²,
令d²y/dx²=0，则x²=3，即：
x1=-√3，x2=√3。
(1). 当x∈(-∞, -√3) ,(√3,+∞)时，d²y/dx²＜0，此时函数为凸函数；
(2). 当x∈[-√3,√3]时，d²y/dx²≥0，此时函数为凹函数。
函数奇偶性：
设f(x)=log2(x²+3)，则有：
f(-x)=log2 [(-x)²+3]=log2(x²+3)=f(x),
即函数偶函数，函数图像关于y轴对称。
函数的极限：
Lim（x→-∞）log2(x²+3)=+∞，
Lim（x→0）log2(x²+3)=log2 3，
Lim（x→+∞）log2(x²+3)=+∞。
主要内容：
本文主要介绍函数y=1/sin(47x+55)的定义域、单调性、凸凹性等性质，并解析函数的单调区间和凸凹区间。
※.函数定义域
根据函数特征，函数自变量x在分母，则有sin(47x+55)≠0，此时有：
47x+55≠kπ，k∈Z，即x≠(kπ-55)/47，
所以函数的定义域为：{x|x≠(kπ-55)/47 ，k∈Z。}
※.函数单调性
根据正弦函数的单调性，可知其取倒数的函数y=1/sin(47x+55)单调性。
对于函数y=sin(47x+55)的单调性及单调区间为：
(1)单调增区间
2kπ-π/2≤47x+55≤2kπ+π/2,
2kπ-π/2-55≤47x≤2kπ+π/2-55
(4k-1)π/94-55/47≤x≤(4k+1)π/94-55/47,
(2)单调减区间
2kπ+π/2≤47x+55≤2kπ+3π/2,
2kπ+π/2-55≤47x≤2kπ+3π/2-55
(4k+1)π/94-55/47≤x≤(4k+3)π/94-55/47,
由此可知，函数y=1/sin(47x+55)的单调性如下：
(1)函数的减区间为：(4k-1)π/94-55/47≤x≤(4k+1)π/94-55/47,
(2)函数的增区间为：(4k+1)π/94-55/47≤x≤(4k+3)π/94-55/47。
※.函数的凸凹性
用导数知识来解析函数的凸凹性
∵y=1/sin(47x+55)，
∴dy/dx=-47cos(47x+55)/sin²(47x+55)，继续求导有：
d²y/dx²=-47 [-47sin(47x+55)sin²(47x+55)-47cos(47x+55)*
2sin(47x+55)cos(47x+55)]/sin^4(47x+55)],
=47²[sin(47x+55)sin²(47x+55)+cos(47x+55)*
2sin(47x+55)cos(47x+55)]/sin^4(47x+55)],
=47²[sin²(47x+55)+cos(47x+55)*2cos(47x+55)]/sin³(47x+55)],
=47²*[1+cos²(47x+55)]/sin³(47x+55)，
此时函数的凸凹性如下：
(1)当sin(47x+55)＞0时，d²y/dx²＞0，此时函数为凹函数，即：
2kπ＜47x+55＜2kπ+π,
2kπ-55＜47x＜2kπ+π-55
2kπ/47-55/47＜x＜(2k+1)π/47-55/47,
(2)当sin(47x+55)＜0时，d²y/dx²＜0，此时函数为凸函数，即：
2kπ+π＜47x+55＜2kπ+2π,
2kπ+π-55＜47x＜2kπ+2π-55
(2k+1)π/47-55/47＜x＜(2k+2)π/47-55/47。
