上一节里我们学习了已知一个二次函数画出它的图象的方法．但有时我们也会遇到另一类问题：已经知道一个函数是二次函数，并且还知道它具有某些特点，要求找出这个二次数．下面我们来看几个例子：

例1.已经知道函数y= f ( x ）是一个二次函数，并且知道它的图象通过 A (0,1), B (1,3), C (-1,1）三点，写出这个二次函数。

分析 二次函数的一般形式是y=ax²+bx+c

要确定这个函数，必须知道二次三项式里三个系数a，b，c的值。现在已知A , B, C三点在图象上，它们的坐标适合上面的方程，因此可以列出关于a，b，c的三元一次方程组：

因为A在图象上，所以

1=a·0²+b·0+c......①

因为B在图象上，所以

3=a·1²+b·1+c......②

因为C在图象上，所以

1=a(-1)²+b(-1)+c......③

联立方程①，②，③，

解这个三元一次方程组就可以确定a，b，c。

解 设所求的二次函数是

y=ax²+bx+c ......(1)

因为A(0，1)在函数的图像上，把x=0，y=1代入(1)，这个等式应当成立，因此有

1=a·0²+b·0+c

就是

1=c......(2)

同理，由B，C的坐标适合方程(1)得到

3=a+b+c......(3)

1=a-b+c......(4)

解由方程(2)，(3)，(4)所组成的方程组得

a=1，b=1，c=1，

所以所求的二次函数是

y=x²+x+1

例2 已知函数y=ax²+bx+c的图象是以点(2，3)为顶点的抛物线，并且这图象经过点(3，1).写出这个函数，并且画出它的图像。

分析 抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是

根据已知条件，可以得到两个关于a，b，c的方程

另外，根据抛物线通过点(3，1)，可以得到另一个方程

1=9a+3b+c。

解这三个方程所组成的方程组就可以确定a，b，c。

【解】根据已知条件，有

从(1)，得

b=-4a......(4)

代入(2)和(3)得

就是

{c-4a=3， (5)

c-3a=1 (6)}

解(5)和(6)所组成的方程组得

a=-2，c=-5。

把a=-2代入(4)得

b=8。

所以所求的二次函数是

y=-2x²+8x-5。

利用下面的数值表：

可以画出函数的图象如图4·12所示．

注 事实上，以点（ h, k ）做顶点的抛物线的方程，可写成

y=a(x-h)²+k .

这样根据已知条件，就可以写出所求的二次函数是

y=a(x-2)²+3......(7)

因为点（3,1）在图象上，所以 x=3, y=1代入(7)，等式成立，就是

1=a(3-2)²+3,

由此得 a =-2．把它代入(7)，就得

y =-2(x-2)²+3

=-2x²+8x-5.

所以所求的二次函数是

y =-2x²+8x-5.

这个解法要比前面那个解法更方便一些。

1.设有二次函数y=x²+px+q ，按照下列条件，求出 p 和 q 的值，然后写出这个二次函数：

(1）在 x =2的时候， y =12;在 x =-3的时候， y =2;

(2）函数的图象和 x 轴的交点的坐标是（-4,0）和（-1,0);

(3）函数的图象是以点（5,-2）为顶点的抛物线．

2.设有二次函数y=ax²+bx+c ,按照下列条件，求出 a , b , c 的

值．然后写出这个二次函数：

(1)

(2）函数的图象是以点 A (-1,-8）为顶点的抛物线，并且和 y 轴交于点 B (0,-6)。

下期预告：§4.5二次函数的性质

画出了二次函数y=ax²+bx+c 的图象，我们就可以从它的图象上看出这个二次函数的一些重要性质。

1、二次函数y=ax²+bx+c的值的上升和下降 我们来观察二次函数y=x²-x+2的图象（图4·13)。可以看出它在对称轴 x=½的左边，从左到右是逐渐下降的；而在对称轴x=½的右边，则是从左到右逐渐上升的。由此可知......

上期链接

https://m.toutiao.com/is/i62NxtQy/ - 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(16)二次函数图象的作法 - 今日头条

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