题目呈现:
若方程5x²-10xcosα+7cosα+6=0的两根相等,试求两邻边之和为6,且夹角为α的平行四边形的最大面积。
解题思路:要求在题设条件下的平行四边形的最大面积,就要求面积的表达式:设x为平行四边形一边的长,则面积
S=x·(6-x)·sinα
又由题意可知,方程的根的判别式为:
Δ=b²-4ac
=100cos²α-20(7cosα+6)
=100cos²α-140cosα-120
=5cos²α-7cosα-6=0
把上式看作方程
5x²-7x-6=0,
分组分解因式得
5x²+3x-10x-6=0
(5x²-10x)+(3x-6)=0
5x(x-2)+3(x-2)=0
(5x+3)(x-2)=0
解得x₁=-5分之3,x₂=2
x₂=2不合题意舍去,故
因为sin²α+cos²α=1,
所以有
所以有
求此二次函数的极值即可。
解:由题意可知,
Δ=b²-4ac
=(-10cosα)²-4×5(7cosα+6)=0
即5cos²α-7cosα-6=0
解之得
设平行四边形的一边长为x,另一边长为6-x
∴面积
故当
时S有极大值
且
答:最大面积为7.2
4ac=0?