如果我们想知道微积分的实际应用，那么看一看利用求瞬时变化率的逆过程，如何来求曲线的长度、曲线所围图形的面积，曲面所围图形来体积，以及解决许多大量用其他方法不可能解决的问题，将会受益匪浅。也许，至少我们应该看到，微积分如何在这些应用中发挥作用。
举一个简单的例子，让我们来考虑如图50中的面积。我们可以把这个面积想像为是由一条垂直的动直线AB，从P点开始(长度为0)向右移动而形成的。对于AB的任何位置向右移动时，所形成的面积都是如图所示形状的面积。于是当AB向右移动时，所形成的面积也以与长度AB变化的相同速度增加。由于AB从一个位置到另一个位置时其长度会发生变化，因此所形成的面积也从一点到另一点发生变化，这样，瞬时变化率的概念在对这个图形的研究中就用上了。为了解决如何求出这个图形的面积，以及其他实用图形的面积问题，我们将进一步考虑微积分的纯技术问题。一方面，是一般的变化率概念，另一方面是求出长度、面积和体积，认识到这两者之间的联系，是牛顿、莱布尼茨在微积分工作中做出的最伟大的发现之一。
当锡罐的生产效率成为现代文明中数学思想研究的强大动力时，微积分，像其他的数学分支一样，引起人们的注意当属情理之中的事情，因为它在现代文明和文化的创造中发挥了重大作用。当然，微积分方法在推导科学定律中的应用已经描述过了。而且，牛顿在研究支配着宇宙运动的定律方面的成功，激励着科学家去探索其他物理学领域的定律。因此，在诸如电学、光学、热学和声学这样一些科学领域中，人们都找出了一些基本定律，这些定律中的每一条都概括了大量的自然现象。但是，我们还没有谈及微积分创立以后最具有重大意义的发展。
像所有人一样，科学家们也是不易满足的。一旦他们获得了些许成功，他们立刻就要求获得更大的成就。18世纪的科学家们因拥有微积分这个强有力的武器而信心十足，并且初步的成功刺激了他们的欲望，同时尝到了由他们的努力所创造的科学进步带来的甜头，他们甚至敢于大胆推测：物理学若干分支的基本定律能从一个单个的定律中推导出来，也许整个宇宙的设计都在这条定律的统摄之下。至少，他们希望，在一个一般数学定律之下，将科学的若干个分支统一起来，由此出发，然后可以推导出几个独立分支的定律。胆量，再加上能力，使得这些科学家们取得了胜利。数学家和科学家们的确发现了一整套全新的原理，这些原理不仅指引了庞大的科学体系发展的道路，而且成为宇宙设计的基本信条。微积分和宇宙设计两者之间的联系需要进一步作些阐述。
假设将一个球垂直上抛，我们希望求出它所能达到的最大高度。利用微积分，可以很容易地解决这个问题。例如，假设球在地面上方的高度h由公式
h=128t-16t²......(9)
给出，此处t是球在被垂直上抛的瞬间开始计时的秒数。由于球在开始被抛出去时是上升的，这就表明h随着t而增加。但是，球的速度却在不断减小，因为引力与上升的速度相反。球就继续上升直到速度为0时为止，所以必然会出现球不再继续上升的最高点。这就意味着，如果我们能找到速度为0的时刻，那么将知道，无论如何正是在这一时刻，球达到最大的高度。对公式(9)，利用求h对t的瞬时变化率的过程，我们求出速度由公式
v=128-32t......(10)
给出，我们已经看到，当球位于最高点时，速度v在这一时刻等于0。因此，在公式(10)中让v=0，则找出在球处于最高点时，满足方程的时间t有
0=128-32t
明显地，t=4时满足这个方程，所以球在上升4秒钟后到达最高高度。这时球有多高呢？公式(9)给出了在任意时刻球上升的高度。在这个公式中用4代替t，求出
h=128×4-16×4²=256
这样，球所达到的最高高度是在地面上方256英尺，这一过程表明，微积分使得我们能通过瞬时变化率的概念，找出一个变量的最大值，如上述例子中的h。同样的过程，当用于有最小值的变量时，我们也能求出最小值。
到18世纪时，科学家们已经观察到，在多种多样自然界及其行为现象中，其结果是有些量不是最大值就是最小值。例如，一道光线，从A点出发到达一个镜面，然后再到点B(图16)，可以想象得到会有许多路径。但是，如希腊人所发现的那样，光线走最短的路线。由于光线在同一种介质的大气中以恒速运动，那么最短的路线也就是需要时间最少的路线。因此在这种自然现象中，自然行为的结果是，相关的距离和时间两者都是最小值。
当光线从一种介质到另一种介质时，比如说从空气到水时，不仅光速c₁要变化，比如变到c₂，而且光线的方向也要变化(图51)。再者，从第一种介质中的A点出发，到达第二种介质中的B点，光线可以走许多路线。但是，莱顿(Leiden)大学数学教授W·斯内尔(Willebrord Snell)和法国数学家笛卡儿发现，关系所走的是这样一条路线，它使得c₁除以c₂等于sin∠1除以sin∠2。随后，费马证明了，这条路线也是所需时间最少的路线。
当光线通过一种性质可变的介质，如穿过地球上空的大气层时，它所走的路线也是所需时间最少的路线。靠近地球表面的大气的密度，比地球高空上大气的密度要大得多。但是，光在密度大的大气中的速度比在稀薄的大气中要慢。因此，射向我们的太阳光线在较稀薄的大气中停留的时间将会更长，可以推测，光线在那里的速度较大。结果是，日出以后，我们所能看到的太阳光线的路线(线条)是弯曲的，也就是说，此时太阳实际上位于几何地平线下方(图52)。
在这些事实的基础上，费马提出了最短时间原理，该原理是：光线从一点到另一点，总是走所需时间最短的路线。由于实际中的路线是时间取最小值的那一条，而微积分能被用来确定相关变量中其中一个的最大值和最小值，所以实际上，费马原理告诉我们，如何利用微积分方法确定光线的路径。但是，费马原理仅仅只阐明了光线的路径。其他的现象又怎样呢？
不久，人们找到了其他自然现象服从极小化原理的例子。由同一种橡胶制成的气球，当给它充气使其膨胀时，成一球形；肥皂泡也是一球形。在体积给定的情况下，所有曲面中，球的表面积最小，这正是一条数学定理(在古典希腊时，为了能够证明关于球的这一事实，人们就花费过巨大的代价
)。因此气球和肥皂泡，在充满一定量的空气后，所具有的形状就是所需表面积最小的。为什么它们要选择服从这条数学定律呢？假定将气球橡胶和肥皂泡薄膜以球形方式展开，那么扩展的面积将最小，因此铺展开来后的面积也最小。明显地，自然界也像人一样，以尽可能小的方式扩展自己。
这些例子能被包含在一个广泛的原理中吗？大约在18世纪中叶，一位著名的物理学家P·L·M·莫佩尔蒂(Pierre L.M.de Maupertuis)提出了最小作用原理。在研究光的理论时，他发现了这一原理，该原理宣称：作用是质量、速度和所遍历的路径的乘积的总和，自然界的行为就是要使这种作用及其总和在数学上的复合量，尽可能的小。将微积分运用于作用量公式，可以推导出牛顿的前两个运动定律，以及其他一些力学、光学定律。因此，按照牛顿定律运动的物体，比如行星，可以说都服从这一最小作用原理。而且，莫佩尔蒂从这一条最小作用原理出发，成功地得到了各种力学、光学定律。
莫佩尔蒂之所以寻求和提倡这一原理，是为了坚持其神学信仰。他坚信物质行为的各种规律，必须显示出与上帝创造物相称的完美性。而最小作用原理能满足这条标准，因为这个原理表明自然界是经济的。因此他宣称，这条原理不仅是自然界的普遍规律，而且还是上帝存在的第一个科学证明，因为这是“一条如此具有智慧的原理，它只能属于至高无上的上帝”。
18世纪最伟大的瑞士数学家L·欧拉(Leonhard Euler)，像莫佩尔蒂一样，坚信诸如像最小作用这样的原理的存在绝非偶然，所以他拥护莫佩尔蒂所宣称的一切。认为，这条原理是上帝有意识设计宇宙的证明。显然，上帝先前在希腊和文艺复兴时期的科学家那里还仅仅只是一位几何学家，而现在又成了更为博学的人物。不久，上帝就不仅是一位几何学家，而成了一位对所有领域都精通的完美的数学大师。
事实上，费马、莫佩尔蒂、欧拉假定自然界总是按某种最小的方式行动这一信念是错误的。有些情形，例如，与其他可能走的路线所需要的时间相比，还存在着这样的情况，一条光线走过的路线需要的时间最多。因此，这些人所找出、信奉的这条原理的正确形式，应该是这样的：自然界行为的结果不是极大化就是极小化。莫佩尔蒂不应该说自然界是经济的，而应该这样讲，自然界的行为经常趋于极端，喜欢极端化。
尽管莫佩尔蒂和他的伙伴们在一两个细节上有些错误，但是19世纪和20世纪的后继者们却对他们这些人研究方向的正确性充满信心。摈弃了与神学的联系后，极大和极小原理现在统治了物理科学。上世纪(19世纪)最杰出的物理学家W·哈密顿(William Hamilton)爵士证明，利用他创立的极大化或极小化函数，以及作为专门术语的动力势能的时间积分(the time integral of kinetic potential)，几乎所有的引力定律、光学定律、动力学定律和电学定律都能得到。哈密顿函数的价值，部分地是因为它包含有如此众多的物理定律，也因为这些定律必须利用极大或极小过程才能推导出来。而且，20世纪最杰出的数学物理学家A·爱因斯坦(Albert Einstein)，通过证明物体在时空中的自然路线是一个称之为区间(interval)的函数的最大值，从而在他最伟大的创造——相对论中取得了极大的成功。这个命题的重要性就在于，它解释了观察到的行星的路线。今天人们积极寻求的目标是，使所有的现象都包含在一个原理之中，也就是使自然界的实际行动都极大化或极小化为某些一般的数学量。爱因斯坦本人依然还在从事这样的工作¹：通过极大或极小化过程，使所有电学和力学的知识结合成一个数学判断命题，由这个数学命题出发，推导出自然界的定律。
注¹：作者写作本书的时间在1953年以前，那时爱因斯坦还健在。——译者注。
这样，我们看到，科学家们对极大-极小原理的偏爱与重视丝毫未减。发生的变化仅仅只是，这一原理以前是被用于对上帝存在的证明，而现在为人们接受和大受欢迎，则是由于这一原理具有美学上的吸引力和有益于科学的发展。即使如此，20世纪一些著名的科学家，如A·S·爱丁顿爵士(Sir Arthur Stanley Eddington)、J·H·金斯爵士(Sir J·H·Jeans)继续将上帝尊崇为第一位的原因，即终极原因(raison dêtre)。
尽管伟大的数学家、科学家不失时机地将微积分应用于宇宙的构造，但是他们在试图为这门学科建立起正确的、合乎逻辑的基础方面，却失败了，从而阻碍了这门学科的发展。如同在“不用马拉的车”的概念与现代汽车的概念这两者之间的空白，是由100多项重大发明、数百项小发明才填补起来一样，牛顿、莱布尼茨的微积分，与现代被认为是使人满意的微积分，这两者之间的空白和鸿沟，也是由数百名伟大的数学家和名不见经传的数学家的工作才填补起来的。经过了大约150年，才产生出一门逻辑上完备的微积分。
迈出这极为关键性一步的主要困难，是由瞬时速度引起的。我们可以回忆一下，从公式d=16t²，我们得到了表达式
k/h=96+16h
来表示在h秒的时间间隔内的平均速度 然后，瞬时速度就是取当h趋近于0时这个表达式所趋近的那个数值，或者如现在微积分中所称的那样，取趋近的这个数值96就是取极限。对这个数值96，读者看起来似乎很明显。也许，这一事实在这个简单的例子中的确很明显。但是，极限的概念却难以捉摸，不易理解。让我们考察一下其中的困难之所在。
序列0，¼，⅜，7/16，15/32，...是递增的，并且趋向于1。
但是很明显，该数列每项并不接近1，因为这个数列中甚至没有一项是½。如果当h趋向于0时，用k/h的值组成这个数列，那么其极限，或者说k/h将趋近的数值是多少呢？显然，在大多数情况下，还必须说明是如何趋向于极限值的。可能有人会说，数列的值必须非常接近极限。但是，接近(close)一词模糊不清。火星接近地球，而它离地球尚有5000万英里之遥。而另一方面，一颗子弹接近一个人，则是指它在这个人面前几英寸之内。
微积分创造者们所要解决的困难，准确地说就是这样一件事情，给出瞬时速度或者k/h所趋近的那个数值所蕴含的令人满意的定义。17世纪早期从事微积分研究的数学家的目的是，理解他们自己零零碎碎的贡献，并使之合理化，因为他们得出的那些东西按现在代标准来看太荒唐可笑了。尽管在数学研究中有严格证明的悠久传统，但是一些数学家们却准备抛弃这个标准，因为他们知道自己正在发展一种非常有价值的思想，他们关注的是获得进展，而不是关注其合理性。伽利略的学生、博洛尼亚大学教授B·卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)说，严格性、严密性是哲学的事情，而不是几何的事情。帕斯卡则坚持，心灵使我们确信某些数学发展步骤是正确的。对于一件正确的事情来说，重要的是“技巧”而不是逻辑，就如同判断宗教情感时皈依高于理性一样。
尽管牛顿、莱布尼茨在微积分技术方面做出了最具有伟大意义的进展，但他们在为这门学科确立严格的基础方面却没有什么贡献。任何人，只要详细阅读他们微积分方面的著作，无不为他们所使用的方法而瞠目结舌。在这些著作中，他们围绕着实际上还没有引起人重视的极限概念的正确性互相诋毁，他们多次改变原先所使用的方法，以致经常否定自己先前的说法。在处理极限概念方面，他们两人都没有成功，仅仅只是在他们自己，他们的同时代人，甚至在他们的后继者中引起了混乱。在《原理》中有一处，牛顿的确表达出了关于瞬时变化率的正确观点，但是显然他并没有清楚认识到这一点，因为在后来的著作中，他对自己的方法给出了更加苍白无力的逻辑解释。莱布尼茨试图从哲学方面讨论量h和k的本质，以使他关于比率的工作合理化，这里h和k是在比率k/h中出现的，而h趋向于0；他也坚信，抛开形而上学的考虑，那么微积分将只具有近似正确性，但却依然是有用的，因为它所包含的错误很少，实际上这些错误无关紧要。在微积分的数学解释中，莱布尼茨只给出了法则而没有给出证明。为了描述当h趋向于0时，k/h所趋向的那个数值中的h和k的值，他说，h是时间t的两个不同的值，这两个值的间隔是无限小，彼此接近；类似地，k是距离d的两个不同的值。在另外的著作中，他又认为h和k的值的极限是无穷小量，或者是正在消失的量，或者是作为与普通存在的量相反的初始量。牛顿对k/h的极限使用“最初和最终比”这一术语。但是，所有这些术语不过是掩盖所面临的困难的遁词而已。
由于早期微积分的研究缺乏严密性，所以在整个这门学科中，争吵声连绵不断。牛顿同时代的数学家M·罗尔(Michel Rolle)教导说，微积分是精巧机智的谬论汇编。牛顿去世后不久，一位优秀的数学家C·麦克劳林(Colin Mac Laurin)决心使微积分严密化。他于1742年出版的著作无疑地具有重要性，但却不具可读性。18世纪人们写下了许多想利用逻辑使微积分达到严密性这一目的的著作 他们的成就可以以伏尔泰(Voltaire)对微积分状况的描述作为总结，他认为微积分是“精确计算和测量一件事物的艺术，但本身的存在却不能使人信服”。历史上两位伟大的数学家J·L·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)和L·欧拉，在牛顿、莱布尼茨去世约100年后，为微积分做出了杰出的贡献，他们也认为，微积分的基础不稳固，而之所以能利用来得出正确的结论，仅仅是因为其中的错误互相抵消了。18世纪末，达朗贝尔(D'Alembert)建议学生们继续从事这门学科的研究，相信它们最终会得到证明。值得庆幸的是，在牛顿时代，正是有了数学和科学紧密结合这一环境，才使得物理推理能指引数学家，使他们始终沿着正确的道路前进。因为他们得到的结果在运用时是有用的、坚实可靠的，所以他们对自己所使用的方法充满信心，而且受到鼓舞进一步前进。事实上，微积分的一套运算程序非常好，而且发挥了巨大作用，以至于那个时期的数学家们有意识地对严密性问题搁置不论。
我们知道，指引牛顿、莱布尼茨沿着一条正确道路前进的正是直觉和物理上的结论，而不是逻辑。在重要理论创造者的思想中，完全可以预料，会有不完善的东西。但先驱者们在知识领域中迈出的每一大步，却犹如灿烂的灯光照亮了人们前进的道路。如果他们瞻前顾后，犹豫不决，那么充其量，他们的成就也只能局限于如没有远见的经院学者们玩弄技巧、拙劣地进行模仿的进步中了。然而，微积分的历史最富有启示意义的地方，就在于它充分显示了数学是如何取得进步的。周密地进行思考，然后得到完美而无懈可击的结论，数学家们这种正统的观念，正好与历史上微积分创造者们的情形发生了尖锐的冲突。当然，有许多数学证明后来不得不进行修改，因为有些错误是无意之中造成的。由于数学专业上的限制，我们不能在这里过多地谈论这方面的详细情况，甚至欧几里得《几何原本》中的一些错误直到19世纪后半叶才被发现。但是，就微积分这门学科的状况来看，我们发现，尽管数学家、科学家和其他知识界的人士一直觉得这门学科的基础不能令人满意，甚至怀疑它的可靠性，然而数学中这门最大的学科却被用来解决科学中最深奥的问题，并且产生了18世纪最重要的科学定律。想一想，两个世纪来几乎所有最优秀的数学家都曾专心致力研究过微积分的严密性问题，可惜都没有成功，对此我们也应该聊以自慰了。
幸运的是，对数学和整个世界来说，这出错误的喜剧终于完满地收场了。卓越的法国数学家A·L·柯西(Augustin Louis Cauchy)，成功地表达出了正确的极限概念，提出了一系列关于极限的定理来证明微积分方法的合理性。柯西于1821年出版了其划时代的著作《分析教程》(Cour d'Analyse)。如果由此推断说，在柯西的思想被采纳的150多年前写下的著作都毫无意义，应该抛弃的话，那么我们就错了。在美国，在过去的50年里采用的微积分教科书中，其中仍最流行的一本还是写于1700年的呢。
与一般的看法相反，微积分并不是所谓的“高等数学”的顶峰。事实上，它仅仅是其开始。在创立后不久，微积分就成了分析学的基础。分析学是数学的一个分支，涉及的范围比几何和代数要大得多。它在指引科学发展，作为科学的工具方面具有异乎寻常的作用。如常微分方程和偏微分方程、无穷级数、变分法、微分几何、复变函数和势理论，这些内容还仅仅只是分析学领域中的一部分。利用这些工具，科学家继续从事寻找自然界定律的工作，而且加强了他们对自然界的巨大的控制权。有些成就我们将逐一鉴赏。
当数学中的这些分支正被创立时，在16～17世纪数学成就的基础上，一种新的文化也正在形成。抛弃先前中世纪知识中枯萎的枝节，再供给知识之树以营养，科学、哲学、宗教、文学、艺术、美学，都从对宇宙作出的一种全新的、硕果累累的数学解释中吸取了有益的养分。对文化中这些重新获得生机的各个领域的发展方向，我们将在下面几章中进行讨论。
本章完。
本文是美国数学家莫里斯·克莱因(Morris Kline，1908～1992)1953年初版的《西方文化中的数学》的中文版(张祖贵译，复旦大学出版社2004年第1版)第15章的节选。
Mathematics in Western Culture
本书的目的是为了阐明这样一个观点：在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了。作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。
M·克莱因
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