数学中的空间，从最基本的点开始。
数学上的点是没有大学大小的，也就是大小为0。单个点构成0维空间。
直线是一维空间，由无数个没有大小的点构成。
然后是二维空间：
为了表示二维空间，数学家建立了二维坐标系。二维空间就是由这两个坐标轴所围成的平面上所有的点构成，每个点都可以表示为一个二维数对：(2,3),(3,2),等等。
同样，三维空间是由三维坐标系所包含的所有点构成：
由上可见，构成一维，二维，三维空间的最基本元素就是数学上一个个没有大小的点。
那么，n维空间呢？
这里只要把x1,x2,x3,......xn想象成坐标轴，(a11,a12,...a1n)想象成这个n维空间中一个点的坐标就行了。(a21,a22,...a2n)当然也是另一个点的坐标。
再看多项式空间：
这里当然只需要把(1,x,x^2,x^3,...x^n)想象成n维空间的n个坐标轴就可以了。
那么，傅里叶空间呢？
也就是说，只要把
想象成坐标轴，就有
f(x)=a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+.........+ancosnx+bnsinnx，也就是傅里叶级数：
这里的a0/2,a1,a2,a3,......an，b1,b2,b3,......bn就相当于n维坐标系中的坐标。
流形中的切向量空间：
这里只要把偏导数运算符
想象成不同的坐标轴就可以了。
这里的坐标轴在代数学中演变成了基的概念。
由上可见，上述所有空间的构成元素还是一个个n维空间中的点。
因为点没有大小，上述任何空间中包含的点的个数都是无限的。
那么，数学中的所有空间是不是都是由点构成的呢？
因为函数是一条条曲线，所以连续函数空间是由[a,b]定义域上一条条连续的曲线构成的。同样，曲线也没有大小，所以函数空间包含的曲线也有无数条。
再看拓扑空间：
可以看到，构成拓扑空间的基本元素是集合。假设非空集合X是一个实数区间[a,b]，那么，同样因为这个区间中的点是无穷的，所以这个拓扑空间中的集合也有无穷多个。
由以上分析看到，数学中的空间组成元素可以是点、曲线、集合等等。
由这些基本的空间概念，又延伸出了更多的空间，比如向量空间、希尔伯特空间、度量空间、豪斯多夫空间等等。但只要把数学空间的基本概念搞明白了，这些空间概念还是容易理解的。
