小王和小李既是同学，又是邻居。每个月，他们总是相约到一家小店买白糖。假设白糖的价格是变化的。

但是，他们的购买方式不一样。小王每次总是买一斤白糖，而小李每次只买一元钱的白糖，不管能买多少。

试问，这两种买糖的方式哪一种合算？

什么叫做“合算”？单看谁买的糖多是不对的，单看谁花的钱少也是不行的。应当计算各人平均每斤糖花了多少钱，谁少谁就合算。

假设他们在一段时间内买了n次糖，每斤糖的价格分别是a₁，a₂，...，aₙ(元)。

小王每次买一斤白糖，共花了a₁+a₂+...+aₙ(元)，得到了n斤白糖，因此平均每斤白糖的价格为

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这个数称为a₁，a₂，...，aₙ的算术平均数。

小李每次只用一元钱买糖，所以一共花了n元。但他每次得到的白糖的斤数分别是

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因此平均每斤白糖的价格是

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这个数称为a₁，a₂，...，aₙ的调和平均数。

现在问题转化为：对于同一组正数a₁，a₂，...，aₙ，是算术平均数大还是调和平均数大？

答案是，当一切a₁，a₂，...，aₙ都相等时，这两个平均数是相等的；如果a₁，a₂，...，aₙ中至少有两个不相等，那么算术平均数大于调和平均数。也就是说

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不等式的等号当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时成立。

所以，只要白糖的价格有波动，那么小李的购买方式比较合算。

这个道理容易理解，因为价格便宜时，小李买的多，价格贵时，小李买的少。

上面这个不等式的证明，请看下个单元。

上个单元中的最后一个不等式，可以变形为：若a₁，a₂，...，aₙ是正数，那么总成立着不等式

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不等式中的等号当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时成立。

这是一个含有n个量a₁，a₂，...，aₙ的不等式，一个有效的方法是，先做n=2，再做n=3，从中看出某种规律，然后再来解决最一般的情况。

在生活中，我们也常常用到这种方法。比如，先吃肉，后啃骨头。

当n=2时，我们有两个正数a，b，需要证明的不等式是

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利用分配律将上式左边展开

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因此我们应当来证明

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上式相当于

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将上式左边通分，立即得出

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等号当且仅当a=b时成立。n=2的情况这就证明完了。

设n=3，这时考虑三个正数a，b，c。利用分配律

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前面我们已经指出

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(1)式等号当且仅当a=b时成立。

(2)式等号当且仅当a=c时成立。

(3)式等号当且仅当b=c时成立。

因此

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式中等号当且仅当a=b=c时成立。这样就证完了n=3时的情况。

现在，我们已经看清了对于一般的n，如何来证明这个不等式。

首先，反复利用分配律把表达式

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乘出来，得到一共有n²个项的多项式。这些项中，有n项

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等于1，其余的项一共有n²-n项，把这些项两个两个地配对，加上括号，配对的方式为

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等等。这样，一共可配为(n²-n)/2对。但因每对之和都不小于2，因此

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这就得出了一般的结论。

在证明上述不等式的时候，分配律起了很大的作用。在日常生活中，分配律有时会帮我们的大忙。

比如说，妈妈出门的时候，给你和妹妹留下了两张烙饼，它们都是圆形的，但是一张大一张小，一张厚一张薄。妈妈一再嘱咐你应当分得公平，谁也不能多吃多占。

怎么办呢？知道分配律就好办了。请看下图：

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这就是说，只要把每一张烙饼沿着一条直径切一刀，就很公平地一分为二了。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。