您是否曾测量过弯曲物体，方法是将一根绳子放在物体上，将其拉长并测量？使用微积分，可以测量曲线的精确长度。

这里的挑战是找到曲线f ( x ) = x ³ — x在x = -1 和x = 1之间的长度。

看看你是否能找到答案，主要问题的解决方案如下。如果你已经知道怎么做，后面还有一些额外的挑战……

我们先以稍微不同的方式写出这个方程。我们将其写成由参数化描绘出的路径。

这是我们的曲线的参数化：

此参数化的x和y坐标之间的关系是：y = x ³ — x，这就是我们想要的曲线方程。

以下是随着t 的变化绘制的曲线：

现在我们需要将其限制为我们想要计算的长度。我们想要找到从x = -1 到x = 1 的曲线长度。由于x = t ，所以这就是从t = -1 到t = 1 的长度。

现在开始计算长度。请注意，描画速度在不同点处会加快和减慢，因此速度是我们需要考虑的一个因素。

如果知道速度和以该速度行驶的时间，如何计算行驶距离？在物理学中，你将学到的第一个公式是速度 = 距离 / 时间，因此距离 = 速度 * 时间。

所以方法已经存在，但我们需要一种方法来计算给定点的速度，也就是变化率。听起来很熟悉？我们需要一个导数。

这就是速度。为了找到速率，我们用毕达哥拉斯定理求出速度的大小。

那么，在速度连续变化的情况下，我们如何实现距离 = (速度 * 时间)？我们使用积分。我们不是乘以一定时间，而是将速度与时间积分。

在我们的参数化中，t 的范围从 -1 到 1，因此我们将速度从 -1 积分到 1。

好吧，我从来没说过积分很容易。让我们用高精度的数值方法求解它。

接下来的两位数字是 9 和 9，所以我决定四舍五入！✅

回顾曲线f ( x ) = x ³ — x，答案正如您所预料的。

现在您知道如何找到曲线的长度，为什么不尝试将其应用到这些额外的挑战中呢：

挑战 1 ：参数化R ²中的单位圆，并用它来表明圆周长为 2 π。

挑战 2 ：求出螺旋线r ( t ) = (cos( t ), sin( t ), t ) 在R ³中的长度， t在区间 [0, 4 π ] 内。