1是显然的：

由于是线性变换，B0=0，Bx的结果当然还在X中。

2也是显然的：

例如，实数域上的所有m×n矩阵构成一个线性空间，其中的所有对称矩阵或奇异矩阵则是其子空间。

在三维空间中，任何过原点的平面都可以看作是一个线性子空间。平面上的点（向量）在加法和数乘运算下形成一个线性子空间‌。

‌线性算子是线性空间中的重要概念，表示线性变换。‌ 线性算子是从一个线性空间到另一个线性空间的映射，保持加法和数乘运算。例如，矩阵乘法表示一种线性变换，将一个向量空间映射到另一个向量空间。

三维空间中任何过原点的平面都可以看作是三维空间的一个线性子空间。那么由任意一个平面中的向量所张成的空间还是这个平面，经过线性变换以后还是属于这个平面。

线性算子B的定义域为D(B)，值域为R(B)，这里都是X。

因此，如果x∈D(B)，那么Bx得到R(B)的一部分，BBx又得到D(B)的一部分，因为BBx可以通过B的作用再次应用到Bx上得到。由于D(B)和R(B)同时都是X，所以BBx确实属于Bx的范围内‌。

4也是显然的。

假设L是B的特征值对应的特征向量张成的空间，因此L是B的不变子空间。‌

根据定义，一个子空间W是线性变换T的不变子空间，当且仅当对于任意向量x∈W，有T(x)∈W。

对于特征向量张成的空间L，设L是由特征向量x1, x2, ..., xn张成的空间，满足B(xi) = λixi，其中λi是xi对应的特征值。对于任意向量α∈L，可以表示为α=c1x1+c2x2+...+cnxn，其中ci是常数。由于每个xi都是B的特征向量，有B(xi)=λixi，因此B(α)=B(c1x1+c2x2+...+cnxn)=c1λ1x1+c2λ2x2+...+cnλnxn，这仍然在L中。因此，L是B的不变子空间‌。