大家好！本文和大家分享一道2016年高考数学真题。这道题2016年高考全国1卷理科数学的第20题，也就是必做题中的倒数第二题。这道题考查的是椭圆的第一定义、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及对角线互相垂直的四边形面积的求解。据说这道题的正确率不到10％，下面一起看一下这道题。
先看第一小问：求点的轨迹方程。
将圆的方程x^2+y^2+2x-15=0化为标准方程，得到(x+1)^2+y^2=16，所以圆心A的坐标为(-1,0)，圆的半径为4。
由于点C、D为直线l与圆A的交点，那么就有|AD|=|AC|=4，所以∠ADC=∠ACD。
由题意知，BE//AC，那么∠EBD=∠ACD=∠ADC，故|EB|=|ED|，所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4。即动点E到定点A、B的距离之和为定值4，且大于两定点间的距离2，所以点E的轨迹为以4为长轴长、以点A(-1,0)、B(1,0)为焦点的椭圆。所以a=2，c=1，故点E的轨迹方程为x^2/4+y^2/3=1。
需要注意的是，由于直线l与x轴不重合，所以y≠0。
再看第二小问：求四边形面积的取值范围。
由题意知，点M、N在直线l上，点P、Q在于直线l垂直的直线上，所以MN⊥PQ，即四边形MPNQ的对角线互相垂直，所以四边形MPNQ的面积就等于两对角线积的一半，即S=|MN|·|PQ|/2。那么，接下来就需要求出|MN|和|PQ|的长度。
显然，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时|MN|=3，|PQ|=8，S=12。
接下来计算直线l斜率存在的情况。
此时，设直线l的方程为y=k(x-1)，联立直线l与椭圆的方程，消去y，整理后可得：(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0。接下来用弦长公式即可求出|MN|的长，即|MN|=12(1+k^2)/(3+4k^2)。
接着，再求|PQ|的长度。当然，求|PQ|的长度也可以用弦长公式，但是在圆中求弦长最简单的方法是几何法。
具体做法就是过圆心作弦的垂线，再连接圆心与弦的一个端点，这样就构成了一个直角三角形。在构造的直角三角形中，由勾股定理就可以求出弦长的一半，当然也就求出了弦长。
这其中的关键就是求出圆心到弦所在直线的距离，而这个距离可以用点到直线的距离公式求解。
求出|MN|和|PQ|的长度后，就可以表示出S，即S=12√[1+1/(3+4k^2)]。由于3+4k^2＞3，则0＜1/(3+4k^2)＜1/3，从而1＜1+1/(3+4k^2)＜4/3，所以1＜√[1+1/(3+4k^2)]＜2√3/3，故此时12＜S＜8√3。
综上即可求出S的取值范围。
这道圆锥曲线综合题的第一小问难度不大，考查了椭圆的第一定义，第二小问的难度就大得多了，能做出来的同学屈指可数。你能做出来吗？
