大家好！本文和大家分享一道2009年江苏高考数学真题。本题是当年那套试卷的附加题，总第22小题。本题考查的是抛物线的标准方程、抛物线简单的几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，看起来难度很大，但是学霸看到题后却说很简单。
先看第一小问：求抛物线的标准方程。
由于抛物线C的顶点在原点，且焦点F在y轴上，所以可以设抛物线C的标准方程为y^2=2px。因为点A(2,2)在抛物线C上，所以2^2=2p×2，解得p=1。即抛物线C的标准方程为：y^2=2x。
再看第二小问：求直线方程。
第一小问已经求出了抛物线的标准方程，所以可以得到焦点F的坐标为(1/2,0)。那么接下来只需要求出这条直线的斜率，再用点斜式即可求出直线方程。
OA所在直线的斜率为1，那么垂直于直线OA的直线的斜率就为-1，所以由点斜式可得：y-0=-(x-1/2)，即x+y-1/2=0。
第二小问的难度也不大，但是还是有一些同学在求焦点F坐标时出现了错误，确实很可惜。
最后看第三小问：求函数解析式，本文和大家分享两种解法。
解法一：由题意知，点D、E在抛物线C上，所以可以设点D的坐标为((s^2)/2,s)，点E的坐标为((t^2)/2,t)。从图像可以知道：点M在点D和点E之间，所以ME=2DM也就是向量ME=2向量DM。接下来用坐标表示出向量ME和向量DM，由此可以得到一个关于s、t的方程组，这样就可以用m表示出s和t。
然后，再根据两点间距离公式即可求出DE的弦长，即f(m)的表达式。
联立直线方程和圆锥曲线方程是解决直线与圆锥曲线位置关系的一个重要方法，所以我们可以先设出直线DE的方程。
因为直线DE与抛物线C有两个交点，且点M到点D、E的距离不相等，所以直线DE的斜率存在且不为零，所以可以设直线DE的方程为：y=k(x-m)。
接下来，联立直线DE和抛物线C的方程，消去x就可以得到一个关于y的一元二次方程：ky^2-2y-2km=0。这样就可以得到点D、E的纵坐标。
因为ME=2DM，所以点E纵坐标的绝对值就等于点D纵坐标绝对值的2倍，这样就可以求出k与m的关系。最后利用弦长公式就可以求出DE的弦长，即f(m)的解析式。
当然，联立直线与抛物线方程时，也可以消去y，从而得到一个关于x的一元二次方程，然后再用弦长公式求解即可。
对学霸来说，这道题的难度确实不大，不少同学可以得到满分。如果是你，你能得到满分吗？
