大家好！本文和大家分享一下这道2014年福建高考理科数学压轴题。这道题考查了导数的几何意义、基本初等函数导数的计算以及导数的综合应用等知识，整体来看难度不是太大，高中学生应该掌握。接下来我们一起来看一下这道题。
先看第一小问：求参数的值及函数的极值。
因为f(x)=e^x-ax，所以f'(x)=e^x-a。题干中告诉我们曲线在A点处的切线斜率为-1，且A点为y轴上的点即A点的横坐标为0，所以就可以得到f'(0)=-1，即1-a=-1，所以a=2。
接下来求极值。由前面的解题过程可知：f'(x)=e^x-2，然后我们列出一个x、f'(x)和f(x)的表格，其中x这一行是以f'(x)=0为节点的取值范围，f'(x)这一行反映的是f'(x)的正负，而f(x)这一行表示的是f(x)的单调性和极值。由表格可知，当x=ln2时，f(x)取得极小值，即f(ln2)；f(x)无极大值。
再看第二小问：证明x^2＜e^x。
比较大小，我们经常先作差，再判断差的正负。比如本问中，作差可以得e^x-x^2，而要判断e^x-x^2显然需要构造一个函数，并且利用函数的单调性求解。
令g(x)=e^x-x^2，则g'(x)=e^x-2x=f(x)。由第一小问可知f(x)≥f(ln2)=2-ln4＞0，即g'(x)＞0，所以g(x)在R上为增函数。又因为g(0)=1＞0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，所以有e^x-x^2＞0，结论得证。
最后看第三小问：证明恒成立问题。
根据第二小问的结论可知，当c≥1时，ce^x≥e^x＞x^2在x＞0上恒成立，也就意味着我们可以将c分为c≥1和0＜c＜1两种情况进行讨论。接下来只需要证明当0＜c＜1时，结论仍然成立即可。
当0＜c＜1时，设k=1/c，则k＞1，所以要证x^2＜ce^x，只需要证e^x＞kx^2即可。要证e^x＞kx^2，只需要证x＞ln(kx^2)即x＞2lnx+lnk即可。
所以，我们可以构造一个新函数h(x)=x-2lnx-lnk，然后再用导数法研究h(x)的单调性。显然，当x＞2时，h(x)为增函数，所以我们需要找一个自变量的值，使得h(x)＞0。令x0=16k＞16，则h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k。明显，当k＞16时，k-ln2＞0，k-ln2＞0，所以h(x0)＞0，即此时x^2＜ce^x。
这道压轴题的第一二小问难度不大，但是第三小问还是难住了很多同学。你会做第三小问吗？
