九年级：几乎全军覆没！不使用正弦定理和余弦定理、如何求解？

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这是一道九年级数学竞赛几何题：几乎全军覆没，个别学霸除外！如图，

在△ABC中，∠BAC=120°，AD为∠BAC的角平分线，AB=6，AC=3，求AD的长。

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有人这样做：构造等边三角形和含特殊角的直角三角形+角平分线定理！适合初中生

①延长AD至点E使得AE=AB=6，连接BE和CE，则△ABE为等边三角形，△ACE和△BEC均为直角三角形（∠ACE=∠BEC=90°）。

②CE=3√3，故BC²=AE²+CE²=63即BC=3√7，再由角平分线定理可得CD=√7。

③注意到S△BCE=2S△ABE，故S△ABC=S四边形ABEC-S△BCE=S△ABE+S△ACE-S△BCE=3S△ACE-S△ACE=9√3/2。

④过点A作CD的垂线AF，则AF=2S△ABC/BC=3√3/√7，从而CF²=AC²-AF²=36/7即CF=6/√7，故DF=CD-CF=1/√7。

⑤AD²=DF²+AF²=28/7=4即AD=2。

有人说上述解答太过繁琐，这样做比较简单：平行线段比或相似比！过点作AB（或AC）的辅助线与AC相交于点E，则∠ADE=∠BAD=60°，从而ADE为等边三角形。AD记为a，则DE=AE=a，CE=3-a。由平行线段比可得DE/AB=CE/AC，从而DE=2CE即a=6-2a，求得a=2。

正弦定理+余弦定理+角平分线定理！适合高中生

BC和S△ABC可分别由余弦定理和正弦定理求出，余下同于提示一！

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